2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量课时作业文1．(2016·唐山模拟)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.答案：B2．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8解析：解法一因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.解法二因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.答案：D3．(2016·河北三市联考)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于()A．－B.C．－2D．2解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.答案：C4.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则OP·(OB－OA)＝()A．－B.C．－D.解析：依题意AB＝，∠OAB＝45°，又CP⊥AB，AC＝AB，∴OP·(OB－OA)＝·AB＝OA·AB＋AB2＋CP·AB＝－1＋＝－.答案：A5．(2016·湖南东部六校联考)设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝()A．－B.C．－1D．0解析：由已知可得，a·b＝2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，tan＝＝，故选B.答案：B6.(2016·广州三校联考)如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP＝tOA＋(1－t)·OB(0≤t≤1)，则OP·OQ的最大值为()A.B.C.D．1解析：解法一∵OP＝tOA＋(1－t)OB，∴B，P，A三点共线，且BP＝tBA，又0≤t≤1，∴P在线段BA上运动，∵Q为上一点，设∠POQ＝θ，∴OP·OQ＝|OP|·|OQ|·cosθ≤1×1×1＝1，即当P，Q两点重合且位于点A或点B处时，OP·OQ取得最大值1，故选D.解法二特殊位置法，取t＝1，得点P与点A重合，又取点Q与点A重合，∴OP·OQ＝OA2＝1，对比选项A，B，C的值都比1小，故选D.答案：D7．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__________.解析：利用两向量共线的坐标运算公式求解．∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－68．△ABC中，点M是边BC的中点，|AB|＝4，|AC|＝3，则AM·BC＝________.解析：AM·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(|AC|2－|AB|2)＝×(9－16)＝－.答案：－9．(2016·天津模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E为DC的中点，那么AC与EB所成角的余弦值为________．解析：AC＝AB＋AD，|AC|2＝|AB＋AD|2＝7；EB＝AB－AE＝AB－AD，|EB|2＝2＝1.故AC·EB＝(AB＋AD)·＝，cos〈AC，EB〉＝＝.答案：10．(1)向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，求|a＋b|和a＋b与c的夹角；(2)设O为△ABC的外心，已知AB＝3，AC＝4，非零实数x，y满足AO＝xAB＋yAC，且x＋2y＝1，求cos∠BAC的值．解析：(1)∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，∵b∥c，∴－4－2y＝0，y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.设a＋b与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a＋b与c的夹角为.(2)设AC的中点为D，连接OD(图略)，∵AO＝xAB＋yAC＝xAB＋2yAD，又x＋2y＝1，∴O，B，D三点共线．由O为△ABC外心，知OD⊥AC，BD⊥AC，在Rt△ADB中，AB＝3，AD＝AC＝2，所以cos∠BAC＝＝.11．已知向量a＝(1，sinωx)，b＝(cos2ωx－1，cosωx)(ω>0)，设函数f(x)＝a·b的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在上的单调区间．解析：(1)由题意知，f(x)＝a·b＝cos2ωx－1＋sinωx·cosωx＝cos2ωx＋sin2ωx－＝sin－，因为函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin－，当x∈时，2x＋∈，所以当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．12．(2016·甘肃联考)已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的取值范围．解析：(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0，即2cosBsinA＝－sin(B＋C)＝－sinA，∴cosB＝－.∵0°b＝，∴a＋c∈(，2]．
