3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于()A.B.3C.-1D.-1或3解析:z=(2m2+m-1)+(3+2m-m2)i,依题意,2m2+m-1=0,且3+2m-m2≠0,解得m=.答案:A2.(2015·福建卷)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4解析:由于(1+i)+(2-3i)=3-2i[来源:学.科.网Z.X.X.K][来源:学.科.网Z.X.X.K]所以3-2i=a+bi(a,b∈R),由复数相等定义,a=3,且b=-2.答案:A3.在复平面内,点A对应的复数为2+3i,向量OB对应的复数为-1+2i,则向量BA对应的复数为()A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析:因为BA=OA-OB,所以BA对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.答案:B4.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4解析:由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.答案:A15.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义,知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B二、填空题6.在复平面内,若OA、OB对应的复数分别为7+i、3-2i,则|AB|=________.解析:|AB|=|OB-OA|=|-4-3i|==5.答案:57.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=________.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数.所以解得a=-1.答案:-18.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数[来源:学科网]是[来源:学科网]________.解析:因为OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,所以BA对应的复数为(3+i)-(-1+3i)=4-2i.又在平行四边形ABCD中,CD=BA,故CD对应的复数为4-2i.答案:4-2i三、解答题9.设m∈R,复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z为实数,求m的值;(2)若z为纯虚数,求m的值.解:z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)若z为实数,则m2-3m+2=0,所以m=1或2.(2)若z为纯虚数,则解得m=-.故当m=-时,z为纯虚数.10.在复平面内,A,B,C三点对应的复数1,2+i,-1+2i.D为BC的中点.(1)求向量AD对应的复数;[来源:学.科.网Z.X.X.K](2)求△ABC的面积.2解:(1)由条件知在复平面内B(2,1),C(-1,2).则D,点D对应的复数是+i,AD=OD-OA=-(1,0)=,所以AD对应复数为-+i.(2)AB=OB-OA=(1,1),|AB|=,AC=OC-OA=(-2,2),|AC|==2,BC=OC-OB=(-3,1),|BC|=,所以|BC|2=|AC|2+|AB|2,所以△ABC为直角三角形.所以S△ABC=|AB|·|AC|=×2=2.B级能力提升1.设f(z)=|z|+z-5,且z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于()A.5+5iB.5+5iC.2+5iD.3+11i解析:因为z1=3+4i,z2=-2-i,所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i.又因为f(z)=|z|+z-5,所以f(z1-z2)=|5+5i|+(5+5i)-5=5+5i.答案:A2.在复平面内,复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z,已知OZ=OZ1+OZ2,z1=1+ai,z2=b-2i,z=3+4i(a,b∈R),则a+b=________.解析:由条件知z=z1+z2,所以(1+ai)+(b-2i)=3+4i,即(1+b)+(a-2)i=3+4i,由复数相等的条件知,1+b=3且a-2=4,解得a=6,b=2,a+b=8.答案:83.已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.解:法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),因为|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,所以a2+b2=c2+d2=1,①(a-c)2+(b-d)2=1,②由①②得2ac+2bd=1,所以|z1+z2|===.法二:设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.[来源:学+科+网Z+X+X+K]因为|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,所以△OAB是边长为1的正三角形,所以四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,所以|z1+z2|=|OC|==.3