高考数学二轮复习 专题3 数列 第二讲 数列求和及综合应用 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第二讲数列求和及综合应用高考数列一定有大题，按近几年高考特点，可估计2016年不会有大的变化，考查递推关系、数学归纳法的可能较大，但根据高考题命题原则，一般会有多种方法可以求解.因此，全面掌握数列求和相关的方法更容易让你走向成功.1.公式法.（1）等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋Ｗ.（2）等比数列前n项和公式：Sn＝2.转化法.有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.3.错位相减法.这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.4.倒序相加法.这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），把它与原数列相加，若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.5.裂项相消法.利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.1.应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.2.数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决此类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解.3.解应用问题的基本步骤.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.（√）（2）当n≥2时，＝.（√）（3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋……＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.（×）（4）数列的前n项和为n2＋.（×）（5）若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.（√）（6）推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋……＋sin288°＋sin289°＝44.5.（√）1.（2015·福建卷）若a，b是函数f（x）＝x2－px＋q（p>0，q>0）的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于（D）A.6B.7C.8D.9解析：不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.2.（2015·新课标Ⅱ卷）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（A）A.5B.7C.9D.11解析：解法一∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.解法二∵a1＋a3＋a5＝a1＋（a1＋2d）＋（a1＋4d）＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5（a1＋2d）＝5，故选A.3.在数列{an}中，an＝，则：（1）数列{an}的前n项和Sn＝；（2）数列{Sn}的前n项和Tn＝Ｗ.解析：（1）an＝＝＝×Sn＝×[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋（3×4×5－2×3×4）＋…＋n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）]＝.（2）Sn＝＝＝×[n（n＋1）（n＋2）（n＋3）－（n－1）n（n＋1）（n＋2）]Tn＝×[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋…＋n×（n＋1）×（n＋2）×（n＋3）－（n－1）×n×（n＋1）×（n＋2）]＝.答案：（1）（2）4.（2015·江苏卷）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列{}前10项的和为Ｗ.解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2）.以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又∵a1＝1，∴an＝（n≥2）.∵当n＝1时也满足此式，∴an＝（n∈N*）.∴＝＝2（－）.∴S10＝2（－＋－＋…＋－）＝2×（1－）＝.答案：