高考数学复习点拨 活用圆锥曲线“统一性”定义解题VIP免费

活用圆锥曲线“统一性”定义解题从点的集合（或轨迹）的观点来看，圆锥曲线（除圆外）都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合（或轨迹）．这个定点称为焦点，定直线称为他们的准线，由于常数e的取值范围不同，曲线分为椭圆、双曲线和抛物线．深刻理解这一定义（以下简称“统一性”定义），对解决有关圆锥曲线问题有着举足轻重的作用，下面就此举例说明：一、活用圆锥曲线“统一性”定义判断曲线的形状例1已知平面上的动点M（x，y）满足方程22(2)(1)|3412|xyxy.问点M的轨迹是（）（A）椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)直线分析：一般情况下，识别点的轨迹是通过化简方程来进行的，但此例若用此法处理不仅麻烦，且由于其曲线的对称轴与坐标轴不平行，化简了方程的形式仍很难识别，若能用圆锥曲线“统一性”定义去思考，答案则显而易见．解：原方程可化为.此式的几何意义可理解为：在平面内动点M（x，y）到定点（-2，-l）的距离与到定直线：3x＋4y一12＝0的距离之比为5：1，由圆锥曲线的“统一性”定义可知，这样的轨迹是以定点（-2，-l）为焦点，以直线L：3x＋4y一12二0为准线的双曲线．二、活用圆锥曲线“统一性”定义求曲线方程例2：如图，ABCD是一张矩形纸片，AB=4,AD=8,按图形所示方法进行折叠，使折叠后的B点都落在AD上，此时B记为Bˊ，（注：折痕EF中，点F也可落在边CD上）。过Bˊ作BˊT∥CD交EF于T点，求T点的轨迹方程.分析：本题是有关折叠问题的一道题，应注意折叠前后的图形联系。就本题而言，连结TB后，有|TB|=|TBˊ|，即T到定点B的距离与到直线AD距离相等，所以T的轨迹为抛物线，剩下的工作就是建系，求方程及范围，同样应注意应用图形的几何性质.解：连结TB，由ΔEBT与ΔEBˊT全等可知，|TB|=|TBˊ|即动点T到定点B与到定直线AD距离相等，所以T的轨迹为抛物线的一部分，B为焦点，AD为准线，以AB的中垂线为x轴，以BA为y轴建立直角坐标系，AB中点为O，设其方程为x2=-2py，则|OB|=2p=2,∴所求方程为x2=-8y.当沿x轴为折痕时，T在原点O；当沿A与BC中点连线为折痕时，T在BC的中点，所以T点横坐标范围是0≤x≤4.∴T点的轨迹方程为x2=-8y(0≤x≤4).例3：求经过点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为12的椭圆左顶点的轨迹方程.分析：设椭圆左顶点为A(x,y)由题设可知，左焦点F所满足的关系是明确的，因此，解决此题的关键是将A的坐标转移到F点上去（找出A点坐标与F点坐标的关系式），然后再根据题设条件（点M到点F的距离与到准线的距离之比为12），利用圆锥曲线统一性定义，列出关系式，经过化简整理，求得轨迹方程.用心爱心专心解：设椭圆左顶点为A(x,y)，左焦点为F，反向延长线AF交y轴（左准线）于点Q，则M(1,2)到y轴的距离d=1，如图，由椭圆统一性定义可得F点的坐标为3(,)2xy，再根据统一性定义，由||12MFd,即2231(1)(2)22xy化简得所求轨迹方程：2229()4(2)13xy.三：活用圆锥曲线“统一性”定义判断直线与圆的位置关系例4：已知抛物线y2=2px，判断以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系。分析：判断直线与圆的位置关系可考虑圆心到直线的距离.解：如图，由抛物线的定义知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|且|MM1|=12|AA1|+|BB1|∴|MM1|=12|AF|+|BF|即以为直径的圆与抛物线的准线相切.同理可证以椭圆和双曲线的焦点弦为直径的圆与对应准线分别相离，相切。四、活用圆锥曲线“统一性”定义求最值例5：点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。分析：题设中|PF|是抛物线的焦半径，则|PF|等于点P到其准线的距离，所以的最小值即可转化为|PA|+d的最小值.解：抛物线的准线方程为，设P到线的距离为，则=。要使取得最小值，则过A向准线作垂线y=2可知此时取得最小值，把代入，得P（1，2）.五、活用圆锥曲线“统一性”定义求圆锥曲线的离心率．例6一直线过圆锥曲线的焦点F1且倾抖角为600，它与圆锥曲线交于A、B两点，若|FA|=2|FB|，求该圆锥曲线的离心率．分析：因AB是焦点弦，故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离，利用平面几何图形性质，结合统一性定义可得以解决．解：设|FB|＝x，则|FA|=2x，|AB|=3x,过A、B两...