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高考数学复习点拨 活用圆锥曲线“统一性”定义解题VIP免费

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活用圆锥曲线“统一性”定义解题从点的集合(或轨迹)的观点来看,圆锥曲线(除圆外)都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合(或轨迹).这个定点称为焦点,定直线称为他们的准线,由于常数e的取值范围不同,曲线分为椭圆、双曲线和抛物线.深刻理解这一定义(以下简称“统一性”定义),对解决有关圆锥曲线问题有着举足轻重的作用,下面就此举例说明:一、活用圆锥曲线“统一性”定义判断曲线的形状例1已知平面上的动点M(x,y)满足方程22(2)(1)|3412|xyxy.问点M的轨迹是()(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)直线分析:一般情况下,识别点的轨迹是通过化简方程来进行的,但此例若用此法处理不仅麻烦,且由于其曲线的对称轴与坐标轴不平行,化简了方程的形式仍很难识别,若能用圆锥曲线“统一性”定义去思考,答案则显而易见.解:原方程可化为.此式的几何意义可理解为:在平面内动点M(x,y)到定点(-2,-l)的距离与到定直线:3x+4y一12=0的距离之比为5:1,由圆锥曲线的“统一性”定义可知,这样的轨迹是以定点(-2,-l)为焦点,以直线L:3x+4y一12二0为准线的双曲线.二、活用圆锥曲线“统一性”定义求曲线方程例2:如图,ABCD是一张矩形纸片,AB=4,AD=8,按图形所示方法进行折叠,使折叠后的B点都落在AD上,此时B记为Bˊ,(注:折痕EF中,点F也可落在边CD上)。过Bˊ作BˊT∥CD交EF于T点,求T点的轨迹方程.分析:本题是有关折叠问题的一道题,应注意折叠前后的图形联系。就本题而言,连结TB后,有|TB|=|TBˊ|,即T到定点B的距离与到直线AD距离相等,所以T的轨迹为抛物线,剩下的工作就是建系,求方程及范围,同样应注意应用图形的几何性质.解:连结TB,由ΔEBT与ΔEBˊT全等可知,|TB|=|TBˊ|即动点T到定点B与到定直线AD距离相等,所以T的轨迹为抛物线的一部分,B为焦点,AD为准线,以AB的中垂线为x轴,以BA为y轴建立直角坐标系,AB中点为O,设其方程为x2=-2py,则|OB|=2p=2,∴所求方程为x2=-8y.当沿x轴为折痕时,T在原点O;当沿A与BC中点连线为折痕时,T在BC的中点,所以T点横坐标范围是0≤x≤4.∴T点的轨迹方程为x2=-8y(0≤x≤4).例3:求经过点M(1,2),以y轴为准线,离心率为12的椭圆左顶点的轨迹方程.分析:设椭圆左顶点为A(x,y)由题设可知,左焦点F所满足的关系是明确的,因此,解决此题的关键是将A的坐标转移到F点上去(找出A点坐标与F点坐标的关系式),然后再根据题设条件(点M到点F的距离与到准线的距离之比为12),利用圆锥曲线统一性定义,列出关系式,经过化简整理,求得轨迹方程.用心爱心专心解:设椭圆左顶点为A(x,y),左焦点为F,反向延长线AF交y轴(左准线)于点Q,则M(1,2)到y轴的距离d=1,如图,由椭圆统一性定义可得F点的坐标为3(,)2xy,再根据统一性定义,由||12MFd,即2231(1)(2)22xy化简得所求轨迹方程:2229()4(2)13xy.三:活用圆锥曲线“统一性”定义判断直线与圆的位置关系例4:已知抛物线y2=2px,判断以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系。分析:判断直线与圆的位置关系可考虑圆心到直线的距离.解:如图,由抛物线的定义知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|且|MM1|=12|AA1|+|BB1|∴|MM1|=12|AF|+|BF|即以为直径的圆与抛物线的准线相切.同理可证以椭圆和双曲线的焦点弦为直径的圆与对应准线分别相离,相切。四、活用圆锥曲线“统一性”定义求最值例5:点A(3,2)为定点,点F是抛物线的焦点,点P在抛物线上移动,若取得最小值,求点P的坐标。分析:题设中|PF|是抛物线的焦半径,则|PF|等于点P到其准线的距离,所以的最小值即可转化为|PA|+d的最小值.解:抛物线的准线方程为,设P到线的距离为,则=。要使取得最小值,则过A向准线作垂线y=2可知此时取得最小值,把代入,得P(1,2).五、活用圆锥曲线“统一性”定义求圆锥曲线的离心率.例6一直线过圆锥曲线的焦点F1且倾抖角为600,它与圆锥曲线交于A、B两点,若|FA|=2|FB|,求该圆锥曲线的离心率.分析:因AB是焦点弦,故其焦半径可以转化为点A、B到准线的距离,利用平面几何图形性质,结合统一性定义可得以解决.解:设|FB|=x,则|FA|=2x,|AB|=3x,过A、B两...

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