课时作业(二十一)第21讲简单的三角恒等变换时间/45分钟分值/100分基础热身1.[2018·呼和浩特模拟]若sin(π-α)=13,且π2≤α≤π,则sin2α的值为()A.-2❑√29B.-4❑√29C.2❑√29D.4❑√292.已知tanα=3,则sin2α1+cos2α=()A.-3B.-13C.13D.33.[2018·山东潍坊二模]已知α∈π2,π,tan(α-π)=-34,则cosα-π4=()A.❑√210B.-❑√210C.7❑√210D.-7❑√2104.[2019·河北唐山摸底]cos105°-cos15°=()A.❑√22B.-❑√22C.❑√62D.-❑√625.函数y=❑√5sinx-❑√15cosx的值域是.能力提升6.[2018·河南八市联考]已知sin2θ=23,则tan2θ-π4=()A.15B.56C.5D.67.若α∈π2,3π4,且3cos2α=cosπ4+α,则cos2α的值为()A.±❑√3518B.-❑√3518C.❑√3518D.-❑√33188.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=110,则tanαtanβ的值为()A.32B.23C.34D.259.已知sinα-π12=13,则cosα+17π12的值为()A.13B.2❑√23C.-13D.-2❑√2310.已知α为第四象限角,sinα+cosα=15,则tanα2的值为()A.-12B.12C.-13D.1311.已知sin2α=23,则cos2α+3π4=.12.已知α,β是锐角,且tanα,tanβ是6x2-5x+1=0的两个实根,则α+β=.13.化简cos350°−2sin160°sin(−190°)=.14.[2018·南昌一模]已知函数f(x)=x3+sinx,若α∈[0,π],β∈-π4,π4,且fπ2-α=f(2β),则cosα2+β=.15.(10分)[2018·四川宜宾期中]已知函数f(x)=cosx-π3-sin(π2-x).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈(0,π2),且f(α+π6)=35,求f(2α)的值.16.(10分)[2018·湖南衡阳联考]已知函数f(x)=sin54π-x-cos(π4+x).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)已知cos(α-β)=35,cos(α+β)=-35,0<α<β≤π2,求f(β)的值.难点突破17.(5分)若tanα=2tanπ5,则cos(α-3π10)sin(α-π5)=.18.(5分)在函数y=sin3x+π3cosx-π6-cos3x+π3cosx+π3的图像的对称轴方程中,在y轴左侧,且最靠近y轴的对称轴方程是.课时作业(二十一)1.B[解析]因为sin(π-α)=13,π2≤α≤π,所以sinα=13,cosα=-❑√1−sin2α=-2❑√23,所以sin2α=2sinαcosα=2×13×-2❑√23=-4❑√29,故选B.2.D[解析]sin2α1+cos2α=2sinαcosα2cos2α=tanα=3.故选D.3.B[解析]由tan(α-π)=-34得tanα=-34,所以sinα=35,cosα=-45,所以cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=-45×❑√22+35×❑√22=-❑√210.故选B.4.D[解析]cos105°-cos15°=cos(90°+15°)-cos15°=-sin15°-cos15°=-sin(45°-30°)-cos(45°-30°)=-❑√22×❑√32+❑√22×12-❑√22×❑√32-❑√22×12=-❑√62.故选D.5.[-2❑√5,2❑√5][解析]y=❑√5sinx-❑√15cosx=2❑√512sinx-❑√32cosx=2❑√5sinx-π3,所以y∈[-2❑√5,2❑√5].6.A[解析]tan2θ-π4=sin2(θ-π4)cos2(θ-π4)=12(1-sin2θ)12(1+sin2θ)=1−231+23=15,故选A.7.B[解析]由3cos2α=cosπ4+α,得3(cos2α-sin2α)=❑√22(cosα-sinα),所以cosα+sinα=❑√26,两边平方,得sin2α=-1718.因为α∈π2,3π4,所以2α∈π,3π2,则cos2α<0,所以cos2α=-❑√1−sin22α=-❑√3518.故选B.8.A[解析]由sin(α+β)=12得sinαcosβ+cosαsinβ=12,由sin(α-β)=110得sinαcosβ-cosαsinβ=110,解得sinαcosβ=310,cosαsinβ=15,所以tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=310×5=32.故选A.9.A[解析]cosα+17π12=cosα-π12+3π2=-cosα-π12+π2=sinα-π12=13.故选A.10.C[解析]由sinα+cosα=15两边平方,得1+2sinαcosα=125,得2sinαcosα=-2425,所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925,又因为α为第四象限角,所以sinα<0,cosα>0,所以sinα-cosα=-75,结合sinα+cosα=15,解得sinα=-35,cosα=45,所以tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22cos2α2=sinα1+cosα=-13.故选C.11.56[解析]cos2α+3π4=1+cos(2α+3π2)2=1+cos(2α-π2)2=1+sin2α2=1+232=56.12.π4[解析]由6x2-5x+1=0知,tanα+tanβ=56,tanα·tanβ=16,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=561−16=1.因为α,β是锐角,所以α+β=π4.13.❑√3[解析]原式=cos(360°−10°)−2sin(180°−20°)-sin(180°+10°)=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=cos10°−2(12cos10°−❑√32sin10°)sin10°=❑√3.14....
