高考数学 命题角度4.5 探究性问题大题狂练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

命题角度4.5：探究性问题1.在三棱柱中，平面，，，，点在棱上，且．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）当时，求异面直线与的夹角的余弦值；（2）若二面角的平面角为，求的值．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：(1)结合题中的空间直角坐标系计算可得异面直线与的夹角的余弦值为.(2)二面角的平面角为，则平面的法向量，据此列方程可解得的值为．．故异面直线与的夹角的余弦值为．设平面的法向量为，则即令，解得，，所以平面的一个法向量为．因为二面角的平面角为，所以，即，解得或（舍），故的值为．点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．2.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）λ=.【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质，勾股定理分别可得、，从而得平面，进而可得结果；（2）以为原点所在直线分别为x、轴,轴,轴建立如图所示坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(1)在ACD中,AC=a,CD=a,AD=a由勾股定理得:CD⊥AC PA⊥底面ABCD∴PA⊥CDAC面PAC,PA面PAC,PA∩AC=A∴CD⊥面PAC又 CD面PCD∴平面PCD⊥平面PAC.(2)由(1)知:AB⊥AC,又PA⊥底面ABCD∴以A为原点AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示坐标系则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(-a,a,0),P(0,0,a)假设点E存在,且λ=,则=λ(xE,yE-a,zE)=λ(0,-a,a)∴xE=0,yE=(1-λ)a,zE=λa=(a,0,0)=(0,(1-λ)a,λa),=(-a,a,0)设平面BAE的法向量为=(x1,y1,z1),平面DAE的法向量为=(x2,y2,z2),则=(0,λ,λ-1)=(λ,λ,λ-1)cos<,>====由题意:|cos<,>|=即:=3(2λ2-2λ+1)=2(3λ2-2λ+1)∴λ=∴棱PC上存在一点E,使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为-,且此时λ=.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及面面垂直的判定定理，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.3.如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且.（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性4.如图，在四棱锥中，，平面，.(1)设点为的中点，求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）为中点【解析】试题分析：（1）先取的中点，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面.根据计算，利用平几知识得，再根据线面平行判定定理得平面.从而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根据面面平行性质得平面.（2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点坐标，确定其位置.试题解析：(1)证明取的中点，连接，则....