第一讲等差数列、等比数列一、选择题1．(2018·开封模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝＝2(a1＋a5－d)＝2(10－d)＝16，所以d＝2，故选B.答案：B2．(2018·重庆模拟)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为()A．9B．22C．24D．32解析：依题意得，数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝3，因此数列{an}的前4项和等于4×3＋×2＝24，选C.答案：C3．(2018·益阳、湘潭联考)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为()A．3B．5C．9D．25解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.答案：D4．(2018·洛阳模拟)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是()A．55B．11C．50D．60解析：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选A.答案：A5．(2018·昆明模拟)已知等差数列{an}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则{an}的通项公式an＝()A．－2nB．2nC．2n－1D．2n＋1解析：由题意，得a2a8＝a，又an＝a1＋2(n－1)，所以(a1＋2)(a1＋14)＝(a1＋6)2，解得a1＝2，所以an＝2n.故选B.答案：B6．(2018·长沙中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝()A．23B．96C．224D．276解析：设等差数列{an}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，d＝1，a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，a1＝1，S23＝23×1＋×1＝276，选D.答案：D7．(2018·长春模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.答案：C8．(2018·惠州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列{}的前10项和为()A.B.C.D.解析：设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.选B.答案：B二、填空题9．(2018·南宁模拟)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝________.解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得aq6＝16，∴a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，∴q2＝1.于是＝q10＝1.法二：由等比数列的性质，得a＝a2a6＝16，∴a4＝±4，又a4＋a8＝8，∴或.∵a＝a4a8＞0，∴则公比q满足q4＝1，q2＝1，∴＝q10＝1.答案：110．(2018·合肥模拟)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________.解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝210－2＝1022.答案：102211．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案：5012．(2017·高考北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.答案：1三、解答题13．(2018·南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)∵Sn＝2n＋1－2，∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.又a1＝2＝21，∴an＝2n.(2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋.14．(2018·贵阳模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差数列，求实数k的值．解析：(1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，∴∵q＞0，∴q＝3，a1＝1.∴an＝1×3n－1＝3n－1，故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝，∵kan，Sn，－1成等差数列，∴2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，解得k＝3.
