高中数学不等式综合应用中的几个难点注记专题辅导VIP专享VIP免费

不等式综合应用中的几个难点注记刘凡史义飞程亚娟不等式综合应用是不等式章节中的重点内容，也是各类考试的热点内容之一。本文笔者就其应用中的几个难点问题予以归纳，旨在探求其解法、总结其规律。一、多元变量的最值问题例1.已知x，y，z满足方程的最大值是_________。解析：由题设条件有：。依据其特征联想到圆的方程及其对应的参数换元：令（为参数且）。由。得。当且仅当时取等号。故的最大值为。评注：本题是一道含有三个字母的最值问题，无论从运算变形能力，还是从转化化简能力等方面对学生要求都比较高。解题的关键是将题设条件变形为，从而找到了条件与待求式之间的联系。同时也把三个字母问题变成了两个字母问题。但要进一步探寻y，z之间的关系，还必须再一次从条件入手，消去x，得到。从而为应用圆的参数方程、换元引参，转化成三角函数创设了条件。将问题转化为熟悉的三角函数求最值问题，降低了难度。例2.正实数及函数，，且，则的最小值为______________。解析：先由已知条件解出，所以。当且仅当时等号成立。所以当。评注：涉及到多元变量及其最值的不等式应用问题，一般常见的解题方法为：换元转化、应用均值不等式或转化成函数(一般必须通过降元化简)应用单调性或导数等。对于选择填空类问题常可以应用特殊化思想猜想结论，再模拟最值等。本题的求解过程就是通过变形转化，创造条件应用不等式。二、“三个二次”问题所谓“三个二次”问题就是指一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的简称，它是中学数学的传统内容，也是主要的基础知识。在探求此类问题时，如果能灵活地应用它们之间的相互转化、密切配合这一特点，常可以化难为易。例3.已知二次函数的二次项系数，且不等式的解集为（1，2），若的最大值为正数，则a取值范围为_________。用心爱心专心解析：由条件不等式的解集为（1，2）。可设。所以。其最大值为，所以有，解得。又。所以。评注：本题在求解过程中先由条件不等式得到函数关系式，再由函数性质得到不等式，其显示了二次不等式与二次函数的转化关系。例4.设二次函数。若函数的图像与直线和均无公共点。（1）求证：。（2）求证：对一开始实数x恒有。解析：（1）由题设条件得方程均无实根，即①且②且①+②得。（2）由同号，所以。评注：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是不可分割的一个整体，函数中蕴含着方程和不等式的性质，而方程中常常表现出不等式及函数的特点。三、代数逻辑推理问题例5.设是函数定义域内的两个变量，且，那么下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.解析：由是定义在R上的增函数，且当，所以，；又，而，则有。评注：本题是一道函数与不等式的小综合问题，其考查的重点是代数逻辑推理能力。通过上述求解过程可以看出解决此类问题的关键是变形转化，探寻出推理时所需的条件及条件与结论联系的纽带。用心爱心专心例6.函数的定义域为[0，1]，且，当，时，都有，求证：。证明：不妨设，由题设条件的性质，现必须分为以下两种情况讨论：若，则，；若时，由可得。评注：创设条件、分类讨论是求解代数逻辑推理问题常用的思想方法。四、字母范围及恒成立问题例：已知集合，若是A上单调递增函数，求a的取值范围。解析：由，所以，当时，集合，当的单调增区间为，显然当时，在集合A上不可能是单调递增函数，因此，要使在上是增函数，只有才可。所以，解得。故所求实数a的范围为。评注：字母范围的探求问题其实质上是利用集合关系、函数性质、不等式等建立和求解不等式。本题就是把绝对值不等式、三角函数性质、集合的关系有机的结合起来的不等式应用问题。同时还常须注意分类讨论思想在解题中的应用。例8.若对时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。解析：这是一道不等式的恒成立问题，先由已知不等式中分离出待求变量(或含变量的关系式)即：。为了探求的最小值，现不妨设，所以。于是，所以。于是为所求。评注：求解不等式恒成立问题除了上述所采用的分离参数求最值的方法外，常常还可以利用函数的图像及性质、方程与不等式的有关性质求解等等。用心爱心专心