考点规范练30等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案C解析 a3a5=4(a4-1),∴a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,∴q=2.∴a2=a1q=12.2.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A.212B.9❑√3C.±9❑√3D.35答案B解析 a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48=a252=3,a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49=a255=9❑√3.故选B.3.(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12√2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.3√2fB.3√22fC.12√25fD.12√27f答案D解析由题意知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为12√2的等比数列,则第八个单音的频率为(12√2)7f=12√27f.4.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D解析 {an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.联立{a4+a7=2,a4a7=-8,可解得{a4=4,a7=-2或{a4=-2,a7=4,当{a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当{a4=-2,a7=4时,q3=-2,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.5.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案A解析 a2,a4,a8成等比数列,∴a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-12解析由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6. S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-12.7.设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.8.(2018辽宁部分重点高中联考)已知数列{an}是等差数列,a2,a4,a8成等比数列,则该等比数列的公比为.答案1或2解析设{an}的公差为d. a2,a4,a8成等比数列,∴a42=a2a8,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),即d2=a1d,∴d=0或d=a1.当d=0时,a2=a4,公比为1;当d=a1时,a2=2d,a4=4d,公比为2.故等比数列的公比为1或2.9.(2018全国Ⅰ,文17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n·2n-1.10.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1-(13)n1-13=32−12×3n-1.11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d. S4=4(a3+1),3a3=5a4,∴{4a1+6d=4(a1+2d+1),3a1+6d=5a1+15d,解得{a1=9,d=-2.∴an=11-2n.设数列{bn}的公比为q. b1b2=b3,2b1=a5,∴{b12q=b1q2,2b1=1,解得{b1=12,q=12.∴bn=(12)n.(2)由(1)知,Sn=10n-n2.由an=11-2n≤0可知n≥5.5,即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0.故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n2;当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n2-10n+50.于是Tn={10n-n2,n≤5,n2-10n+50,n≥6.二、能力...
