高考数学 命题角度6.1 利用导数研究函数的单调性问题大题狂练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

命题角度1：利用导数研究函数的单调性问题1．已知函数（）.（1）若函数的最小值为，求的值；（2）设函数，试求的单调区间；【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数：，再讨论导函数在定义区间上是否有零点：①当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去；②当时，函数在单调递减；在上单调递增.即再时，函数取最小值，因此，解得.（2）先求函数导数：，再讨论导函数在定义区间上是否有零点①当时，，函数在上单调递增；②当时，有两个根或，再比较大小，分类讨论.（2）由题意，得，则，①当时，，函数在上单调递增；②当时，由，得或，（A）若，则，此时，函数在上单调递减；（B）若，则，由，解得，由，解得，所以函数在上单调递增，在与上单调递减；（C）若，则，同理可得，函数在上单调递增，在与上单调递减.综上所述，的单调区间如下：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上单调递减；③当时，函数的增区间为，减区间为与；④当时，函数的增区间为，减区间为与.2.已知是常数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，讨论函数的单调性.【答案】(Ⅰ);（Ⅱ）在单调递增，在单调递减.【解析】试题分析:(Ⅰ)把x=1代入解析式求出切点坐标,对函数进行求导得到斜率,根据点斜式写出切线方程;（Ⅱ）把代入得到,求出函数的导数,再进行配方判断导函数的正负,按照极值点是否在定义域内分四类进行讨论,得出函数的单调性.试题解析:(Ⅰ)因为,所以,故曲线在点处的切线方程为所以，在和单调递增，在单调递减；④当时，由得（舍去）所以，在单调递增，在单调递减.点睛:本题考查导数的几何意义和函数单调性的判断问题的综合应用,属于中档题目.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为：,求函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程与求函数y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一条．3.已知函数在处有极值.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设，讨论函数在区间上的单调性.【答案】(1)在处有极值时，,(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，由∴且，求得或，检验后可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用导数研究函数的单调性和极值，分五种情况讨论，分别比较极值与端点处的函数值即可得结果.试题解析：（Ⅰ）定义域为， 在处有极值，∴且，即解得：或当时，，当时，∴在处有极值时，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其单调性和极值分布情况如表：+0-0+增极大减极小增∴①当，即时，在区间上的单调递增；②当，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；③当且，即时，在区间上单调递减；④当，即时，在区间上的单调递减，在区间上单调递增；⑤时，在区间上单调递增.综上所述，当时函数在区间上的单调性为：或时，单调递增；时，在上的单调递增，在上单调递减；时，单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.4.已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）若在上为单调增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）在上为增函数；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，对函数求导后因式分解，根据导数与单调性的知识可写出函数的单调区间.（2）当时，可判断函数导数恒为非负数，函数递增符合题意.当和时，利用函数的二阶导数判断出不符合题意.故.试题解析：(1)当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，即，从而可得：在定义域上为增函数.(2)①当时，由于，所以满足在上为单调增函数，即；②当时，，由方程的判别式：，所以方程有两根，且由知，在上为减函数，由可知，在时，，这与在上为单调增函数相矛盾.③当时，，在上为减函数，由可知，在时，，这与在上为单调增函数也是相矛盾.综上所述：实数的取值范...