广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(平面向量)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．(2009·重庆高考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2解析：依题意得a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)， a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x＋1)，由此解得x＝2，选D.答案：D2．如图1，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD等于()图1A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析： BC＝AC－AB＝b－a，BD＝3DC，∴BD＝，∴AD＝AB＋BD＝a＋b，故正确答案是B.答案：B3．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则向量b在向量a方向上的投影是()A．－B．－1C.D．1解析：依题意得(2a＋b)2＝4,4a2＋b2＋4a·b＝4,4＋4＋4a·b＝4，a·b＝－1，向量b在向量a方向上的投影等于＝－1，选B.答案：B4．已知A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，－9)，则A分BC的比λ等于()A.B．－C.D．－解析： BA＝(8，－8)，AC＝(3，－3)．BA与AC共线同向，∴λ＝＝.故选C.答案：C5．已知|a|＝|b|＝1，a与b夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析： c·d＝(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，又 a·b＝0.∴2k－12＝0，k＝6.答案：B6．△ABC中，sinB·sinC＝cos2，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：2sinB·sinC＝2cos2＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.答案：C7．若点P分有向线段AB所成的比为－，则点B分有向线段PA所成的比是()1A．－B．－C.D．3解析：由已知条件可得点P在线段AB的反向延长线上，且＝，因此向量PB与BA方向相反且＝，故点B分有向线段PA所成的比是－，故选A.答案：A8．(2009·郑州二检)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)OC](λ∈R且λ≠0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．垂心C．外心D．重心图2解析：依题意，设△ABC的三边AB、BC、CA的中点分别为H、M、N，AM、CH、BN的交点为G.OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)OC]＝[(1－λ)(OB＋BA)＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)OC]＝[2(1－λ)(OC＋CB)＋(1－λ)BA＋(1＋2λ)OC]＝[3OC＋2(1－λ)CB＋(1－λ)BA]，所以OP－OC＝(2CB＋BC＋CA)＝(CB＋CA)＝CH，即CP＝CH，所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心，选择D.答案：D9．(2009·福州质检)已知非零向量a、b，若a·b＝0，则＝()A.B．2C.D．1解析： |a－2b|＝，|a＋2b|＝，∴＝1.答案：D10．(2009·合肥质检二)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，则等于()A.B.C．1D．2解析：BA＋2BC＝0，∴＝2.答案：D11．(2010·湖北八校联考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝60°，则tan2∠OPQ的值等于()A.B.C.D．以上均不正确解析：以O为原点，OP为x轴，OQ为y轴建立直角坐标系，设P(m,0)，Q(0，n)，则有QR＝2PQ，得R(－2m,3n)，由∠QOR＝60°，得cos∠QOR＝＝＝，得27n2＝4m2，即tan2∠OPQ＝＝.故选C.答案：C12．(2010·东北三校一模)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为()A．2，πB．2,4πC.，4πD.，π解析：设Q(x0，y0)，OQ＝(x0，y0)，OP＝(x，y)， OQ＝m⊗OP＋n，∴(x0，y0)＝(2，)⊗(x，y)＋(，0)＝(2x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，∴⇒代入y＝sinx中得，2y0＝sin(x0－)，所以y＝f(x)的表达式为y＝sin(x－)，所以最大值为，周期为4π，选C.答案：C2二、填空题(每小题4分，共16分)13．如图3，已知OA＝3e1，OB＝3e2，C、D是AB的三等分点，则OC＝__________，OD＝__________.图3解析：OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝＝＝2e1＋e2，OD...
