G5空间中的垂直关系【数学理卷·届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（11）】18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，，是线段上一点，.（Ⅰ）当时，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.【知识点】线面平行的判定；线面垂直的条件；二面角求法.G4G5G11【答案】【解析】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在点满足平面，理由：见解析.解析：（Ⅰ）取中点，连接，…1分又，所以.因为，所以,四边形是平行四边形，…………2分所以因为平面，平面所以平面.…………4分（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，…………5分因为，所以平面.如图，GEAFBCDGEAFBCDxzyGEAFBC以为原点，建立空间直角坐标系.则，………6分是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即令，则，所以,所以，……………8分故二面角的正弦值为。……………9分.（Ⅲ）因为，所以与不垂直,………11分所以不存在点满足平面.…………12分【思路点拨】（Ⅰ）取中点，证明四边形是平行四边形即可；（Ⅱ）以为原点，直线AB为x轴，直线AF为z轴，建立空间直角坐标系.通过求平面ABF的法向量与平面BEF的法向量夹角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在点满足平面，则AE,由判断不存在点满足平面.【数学理卷·届河北省衡水中学高三上学期期中考试（11）】18、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点（1）若，求证：平面平面；（2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。【知识点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）证明： PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又 底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又 AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解： 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图则Q（0，0，0），），B（0，设0＜λ＜1，则平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），由， 二面角M-BQ-C的大小为60°，解得λ=，∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意【思路点拨】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．【数学理卷·届河北省衡水中学高三上学期期中考试（11）】3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【知识点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5【答案】【解析】D解析：错误的原因为n也可能属于，所以A不正确，错误的原因为n也可能与m都在平面内，错误的原因为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.【数学理卷·届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（11）】19．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（1）求证：⊥（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值.【知识点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．G4G5G11【答案】【解析】(1)见解析；(2)解析：(1)证明：三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，-平面，且平面，.又平面,平面,，平面，又平面，⊥…………………………5分(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系平面，其垂足落在直线上,.在中，，AB=2，,在直三棱柱中，.在中，,则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则即可得设平面的一个法向量则即可得平面与平面的夹角的余弦值是………12分（或在中，AB=2,则BD=1可得D(平面与平面的夹角的余弦值是………12分）【思路点拨】(1)由已知得平面，，．由此能证明．(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．【数学理卷·届四川省成都外国语学校高三11月月考（...
