规范练(三)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2A＋cos2C－cos2B＝1＋sinAsinC.(1)求角B的大小；(2)若a＝3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD＝，求c.[规范解答及评分标准](1)由cos2A＋cos2C－cos2B＝1＋sinAsinC得1－sin2A＋1－sin2C－(1－sin2B)＝1＋sinAsinC.即sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC.(3分)由正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cosB＝＝－.因为B∈(0，π)，所以B＝.(6分)(2)由(1)及a＝3知，b2＝a2＋c2＋ac＝c2＋3c＋9.因为BD⊥AC，所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝b·BD.(9分)所以×3×c×＝×b×，解得b＝c.所以2＝c2＋3c＋9，解得c＝5(负值已舍去)．(12分)2．(12分)如图，四棱锥P—ABCD中，△PAD为等边三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面CDE；(2)若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A—DE—C的余弦值．[规范解答及评分标准](1)证明：如图，取AP的中点为F，连接EF，DF. E为PB的中点，∴EF綊AB.又 CD綊AB，∴CD綊EF.∴四边形CDFE为平行四边形．∴DF∥CE. △PAD为等边三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE.(3分)又PA⊥CD，CD∩CE＝C，∴PA⊥平面CDE.又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE.(6分)(2) AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB. ∠BAD＝90°，∴AB⊥AD.又 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，∴CD＝PD. △PAD为等边三角形，∴PD＝AD，∴CD＝AD.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝4，则A(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,2,2)，D(0,4,0)，E(4,1，)，∴AE＝(4,1，)，AD＝(0,4,0)．(8分)设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝－4，则x＝，y＝0.∴n＝(，0，－4)．(9分)由(1)知，平面CDE的一个法向量为AP＝(0,2,2)，(10分)∴cos〈AP，n〉＝＝－.(11分)由图可知二面角A—DE—C的平面角为钝角，∴二面角A—DE—C的余弦值为－.(12分)3．(12分)某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量(单位：万斤)，得到下面的频率分布直方图．(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园中随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园的个数X的分布列及其数学期望；(2)该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位：万斤)的情况统计表如下：运营第n天123456第n天电商的销售量yn1.211.311.451.712.022.54根据相关性分析，前n天累计总销量Tn与n之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程为T＝1.78n＋a，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．注：1.前n天累计总销售量Tn＝yi.2．在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表．3．1斤＝0.5千克．[规范解答及评分标准](1)由频率分布直方图可得样本中2017年销售量不低于9万斤的果园有(0.10＋0.05)×60＝9(个)，销售量不低于10万斤的果园有0.05×60＝3(个)．(2分)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴随机变量X的分布列为X0123P(4分)∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(6分)(2)由运营期间销售量的情况统计表可得前n天累计总销售量Tn(单位：万斤)如下表：运营第n天123456前n天累计总销售量Tn1.212.523.975.687.7010.24∴n＝＝3.5，T＝＝5.22(万斤)(8分)将样本的中心点(3.5,5.22)代入回归直线方程T＝1.78n＋a，得a＝－1.01，∴T＝1.78n－1.01.(9分)用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表，估计该地区2017年的平均销量为4.5×0.05＋5.5×0.15＋6.5×0.20＋7.5×0.30＋8.5×0.15＋9.5×0.10＋10.5×0.05＝7.35(万斤)．由题意，得1.78n－1.01≥14.7，解得n≥8.83(11分) n∈N*，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍．(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)．以O为极点，x轴的非...
