第8章平面解析几何第5讲A组基础关1．已知椭圆的标准方程为x2＋＝1，则椭圆的焦点坐标为()A．(，0)，(－，0)B．(0，)，(0，－)C．(0,3)，(0，－3)D．(3,0)，(－3,0)答案C解析椭圆x2＋＝1的焦点在y轴上，a2＝10，b2＝1，故c2＝a2－b2＝9，c＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．2．(2018·合肥三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(，0)，B(0,3)，则椭圆E的离心率为()A.B．C．D．答案A解析由题意得a＝3，b＝，所以c＝＝＝2，离心率e＝＝.3．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1·PF2＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A．8B．10C．12D．15答案D解析由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而F1F2＝PF2－PF1，所以|F1F2|＝|PF2－PF1|，两边同时平方，得|F1F2|2＝|PF1|2－2PF1·PF2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＋2PF1·PF2＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以34＋2|PF1||PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.4．(2018·武汉调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝()A．60°B．90°C．120°D．150°答案B解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立，消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，又F(c,0)，易知BA·BF＝0，故∠ABF＝90°.5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B．C．D．答案B解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.故选B.6．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.B．C．D．答案C解析设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.7．过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()1A．14B．16C．18D．20答案C解析如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上、下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案＋＝1解析由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.9．设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案解析根据已知条件作出如图所示的图形．记圆x2＋(y－1)2＝3的圆心为M，由三角形的性质可得|PQ|≤|PM|＋|MQ|＝＋|MQ|，设点Q坐标为(x，y)，那么＋y2＝1，所以|QM|2＝x2＋(y－1)2＝4(1－y2)＋(y－1)2＝－3y2－2y＋5，y∈[－1,1]，因此|QM|2≤，即|QM|≤，所以|PQ|≤＋＝，所以P，Q两点间的最大距离为.10．(2018·厦门模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为，则该椭圆的离心率为________．答案解析因为点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，所以点P的坐标为.又因为直线PF1的斜率为，所以在Rt△PF1F2中，＝，即＝.所以b2＝2ac.(a2－c2)＝2ac，(1－e2)＝2e，整理得e2＋2e－＝0，2又0
