第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量的数量积及其应用模拟创新题文新人教A版选择题1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.B.C.2D.10解析因为向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0，2y＝－4，解得x＝2，y＝－2，所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.答案B2.(2016·江西赣州摸底)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π).若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A.1B.－1C.D.解析设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，得|cosθ|＝1，所以向量a与b共线，则sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x.又x∈(0，π)，所以2cosx＝2sinx，即tanx＝1.答案A3.(2014·郑州模拟)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A.一次函数且是奇函数B.一次函数但不是奇函数C.二次函数且是偶函数D.二次函数但不是偶函数解析∵a⊥b，∴a·b＝0.于是f(x)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b＝(|b|2－|a|2)x，又∵|a|≠|b|，∴|b|2－|a|2≠0.∴f(x)为一次函数且是奇函数.答案A4.(2016·山西质量监测)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，CA在CB方向上的投影为()A.－3B.－C.D.3解析由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，∴四边形OBAC为平行四边形.又|OA|＝|AB|，∴四边形OBAC为边长为2的菱形.∴∠ACB＝.∴三角形OAB为正三角形，∵外接圆的半径为2，∴CA在CB方向上的投影为|CA|cos＝2×＝.故选C.答案C创新导向题有关平面向量数量积的几何意义问题5.已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，若向量a在b方向上的投影长为1，则m＝________.解析＝＝1，解得m＝.答案有关求向量夹角问题6.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案专项提升测试模拟精选题一、选择题7.在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心解析假设BC的中点是O.则AC2－AB2＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案C8.(2015·唐山一中高三期中)若a，b，c均为单位向量，a·b＝－，c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y的最大值是()A.2B.C.D.1解析由c·c＝(xa＋yb)·(xa＋yb)＝x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3·即(x＋y)2≤4，故(x＋y)max＝2.答案A9.(2014·辽宁大连检测)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－|a|2，因为a·b＝|a||b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝|a|2cosθ≤－|a|2，解得cosθ≤－，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是，故选D.答案D二、解答题10.(2015·山西大学附中月考)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.解(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－，又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.创新导向题利用数量积求向量夹角11.若|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a，b的夹角为()A.45°B.60°C.120°D.135°解析设a，b的夹角为θ(θ∈[0°，180°])，则由a⊥(a－b)得a·(a－b)＝0，则a2－a·b＝0，所以|a|2－|a|·|b|cosθ＝0，所以cosθ＝＝，故θ＝45°.答案A利用数量积求向量的模12.已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|2b－a|＝________.解析因为|a|＝|b|＝|a－b|＝2，所以a，b，a－b组成等边三角形，且a与b的夹角为，则|2b－a|2＝16－4×2×2×＋4＝12，所以|2b－a|＝2.答案2
