第五节椭圆☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷Ⅲ，11,5分(椭圆的几何性质)2016，天津卷，19,14分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系)2016，浙江卷，9,5分(椭圆的几何性质)2016，江苏卷，10,5分(椭圆的几何性质)2015，全国卷Ⅰ，14,5分(椭圆的几何性质)椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维量都比较大，这是椭圆命题的一个显著特征。微知识小题练自|主|排|查1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。微点提醒1．在求椭圆的离心率时，椭圆中a，b，c之间的关系容易忽略。2．椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。3．方程Ax2＋By2＝1(AB≠0)表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B。小|题|快|练一、走进教材1．(选修2－1P40例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1【解析】设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1。故选A。【答案】A2．(选修2－1P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.B.C．2－D.－1【解析】解法一：设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1。故选D。解法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c。因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1。故选D。【答案】D二、双基查验1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8C．6D．18【解析】依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6。故选C。【答案】C2．方程＋＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)【解析】由方程表示椭圆知解得－3＜m＜5且m≠1。故选C。【答案】C3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或21【解析】若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21。故选C。【答案】C4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________。【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1。【答案】＋＝15．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为__________。【解析】在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝，所以离心...
