高考数学复习点拨 共点、共线与共面问题解法评析VIP免费

共点、共线与共面问题解法评析平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理3及其推论是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里，判断和证明点、线共面问题就显得十分重要．下面介绍点、线共面问题的三种常见类型．一、点共线问题证明此类问题，可先由两点确定一条直线，再证其余的点也在这条直线上；也可以证明所有的点都在一条特定的直线(如两个平面的交线)上．例1如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点．求证：P，H，Q三点共线．证明：由EF∥DB，确定平面BF．EFPBFEF平面P平面BF，同理，Q平面BF，∴P，H，Q平面BF．由A1C1∥AC，确定平面A1C，PA1C1，QAC，HA1C，∴P，H，QA1C．根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BF与平面A1C的交线上，故P，H，Q三点共线．评析：证明点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样可根据公理2证得这些点都在这两个平面的公共直线上．二、线共点问题证明此类问题，通常先证明某两条直线相交于一点，再证交点在第三条直线上；或证某一条直线与两外两条都相交，再证两交点重合(即用同一法)．例2如图，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且GCBG=HCDH=2，求证：EG、FH、AC相交于同一P．用心爱心专心·A·BCEFHP·QDABCD证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD且EF=21BD．又∵GCBG=HCDH=2，∴GH∥BD且GH=31BD，∴EF∥GH且EF＞GH．∴四边形EFHG是梯形，其两腰必相交，设两腰EG、FH相交于一点P，∵EG平面ABC，FH平面ACD，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴P∈AC．故EG、FH、AC相交于同一P．评析：证明共点问题一般是证明三条直线交于一点．首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理2可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点．三、线共面问题．证线共面问题，先根据已知条件，确定一个平面，再证其余直线也在这个平面内．例3求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面。证明：分两种情况证明：⑴有三条直线过同一点，如图，∵AD，∴过A、D确定平面，又∵B、C、DD，∴B、C、D。于是AB，AC，AD，因此A、B、C、D四条直线共面．⑵任三条直线都不过同一点，如图，∵AB=A，∴过A、B确定平面．又∵D、EB，B、CA，∴D、E，B、C，由B、E，得C；由C、D，得D．因此A、B、C、D四条直线共面．评析：证明多个元素(点和线)共面，一般先由公理2或其推论确定平面经过某些元素(或者说这些元素在平面内)，再由公理1或公理3证明其它元素也用心爱心专心PGCHDBEFAdabcABCDE在平面内．用心爱心专心