空间计数中的共面共线“情结”一、共面“情结”例1四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有Ａ．150种Ｂ．147种Ｃ．144种Ｄ．141种解：若直接寻找4个不共面的点，需要分很多类，正难则反，先找四点共面的情况，再将它们排除掉．四点共面的情况可分为三类（如图1）：①四面体表面上的四点共面的情况，有464C种；②平行四边形截面上的四点共面，有3种；③各棱与对棱中点所组成的三角形截面上的四点共面，有6种．所以不共面的四点的取法共有44106436141CC种，即选Ｄ．例2对例1，若条件不变，改成取5个点，求可组成的四棱锥有多少个？解：因为四棱锥的底面是四边形，所以我们应当先从寻找四点共面的四边形入手，最后再取不在四边形平面上的第五个点作为四棱锥的顶点，而不是直接去寻找五个点．寻找四点共面的四边形，我们可参考例1．也可分三类研究：①四面体表面上的四点共面的四边形，有4×6个，此时平面外有4个点；②平行四边形截面本身就是四边形，有3个，此时平面外有6个点；③各棱和对棱中点所组成的三角形截面上没有四边形．根据分类计数原理，四棱锥共有4×6×4+3×6=114个．二、共线“情结”例3正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个（用数字作答）．解：因为三角形的三个顶点不共线，所以应寻找不共线的三点组．若直接寻找，仍然较繁．因此我们先找三点共线的情况，再将它排除掉．显然三点共线的情况只有3个，所以三角形共有37332C个．例4在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点共有多少组？解法一：]如图2，按照两个端点来分类，共分三类：①两端点为正方体的顶点时，有2828C组，其包括棱12条，面对角线12条，和体对角线4条；②两端点为棱的中点时，有6×2+6×1=18组，其中包]括正方体的6个面上的12条，和6个对角面上的6条；③两端点为面的中心时，只有3组．根据分类计数原理，共线的三点共有28+18+3=49组．解法二：按照中间那个点来分类，共分三类：①棱的中点作为中间点时，有12组，都是棱；②面的中心作为中间点时，有6×4=24组；③正方体的中心作为中间点时，有26132组，其中包括体对角线4条，对棱中点的连线6条，和对面中心的连线3条．根据分类计数原理，共线的三点共有12+24+13=49组．由上面这些例题的解答可以看出，要解决这类立体几何组合题，应从共面或共线入手．如果题目所求的就是找共面或共线，那就正好用分类计数原理直接找；如果题目所求的是不用心爱心专心共面或不共线，那么我们用间接排除法也要寻找共面或共线．用心爱心专心
