高考数学 热点题型和提分秘籍 专题18 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题18函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．【热点题型】题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．【解析】列表，并描点画出图象：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20【提分秘籍】作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【解析】(1) T＝＝π，ω＝2，又f＝cos＝，∴sinφ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：2x－－0πππx0ππππf(x)10－10图象如图．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝()A．－B．－C.D.(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．【答案】(1)C(2)f(x)＝sin【解析】(1)由三角函数图象得＝－＝，即T＝，所以ω＝＝3.又x＝是函数单调增区间中的一个零点，所以3×＋φ＝＋2kπ，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Acos.由f＝－，得A＝，所以f(x)＝cos，所以f(0)＝·cos＝.【提分秘籍】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A．－B．－C.D．－(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f的值为______．【答案】(1)D(2)1【解析】所以f＝2sin＝2，0＜φ＜π，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，f＝2sin＝1.题型三函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用【例3】已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．【解析】因此g(x)＝2sin＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．【解析】＝2cos2x＋2cos＝2cos2x－2sin2x＝2sin.令－2x＝2kπ＋(k∈Z)，y有最大值2，所以当x＝－kπ－(k∈Z)时，y有最...