导数中错的反思导数是研究函数性质（单调性、极值、最值等）的有力工具，但如果对导数的概念掌握不牢固,对导数的性质理解不到位，就容易造成会而不对、对而不全的现象．本文结合具体例子辨析在学习导数中比较容易出错的几个问题。一、混淆“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念例1.求曲线y=x3＋3x2-5过点M(1,-1)的切线方程．错解：由y=x3＋3x2-5知y=3x2＋6x，∴y|x=1=9.故所求切线方程为y十1=9(x-1)，即9x-y-10=o.错解反思:曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的，曲线在点M处的切线是指切点在M处的切线，曲线过点M的切线还可能存在切线不在M处的另一条切线，两者是有区别的．正确解法:由y=x3＋3x2-5知y=3x2＋6x，设切点为P(x0,y0).则0|XXy=3x02+6x0.曲线在点P处的切线方程为:y-y0=(3x02+6x0）(x-x0）．又切线过点M（1，-1），则-1-y0=(3x02+6x0）(1-x0）．整理得y0=3x03+3x02-6x0-1．而点P(x0,y0)在曲线上，则y0=x03+3x02-5．∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1．∴整理得x03-3x02+2=0.即(x0-1)2(x0+2)＝0.∴x0=1或x0=-2.则切点为P(1,-1)或P(-2,-1),故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-1.二、因忽视解题顺序而致错例2.求函数2()fxx在2x的导数．错解：(2)4f∵，(2)0f∴．错解反思:()fx在点0x处的导数0()fx，实际上是导函数()fx在0xx处的函数值，即00()()xxfxfx|．故求()fx在0x处的导数0()fx，应先求()fx的导函数()fx，再将0xx代入()fx求值，顺序不能颠倒．正确解法:()2fxx∵，(2)4f∴．三、在求函数单调区间时用“∪”连接致误例3.求函数y=x3(x∈R)的单调区间．错解：令y=3x2＞0，得x≠0；令y=3x2＜0，得x不存在．故y=x3的递增区间为（-∞,0)和(0,＋∞）．错解反思:这与我们知道的“y=x3是R上的增函数”相矛盾．(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（递减）的充要条件是：对任意的x∈(a,b),有f(x)≥0(f(x)≤0),且f(x)在(a,b)的任意子区间内都用心爱心专心不恒等于零(若f(x)恒等于零，则f(x)为常数函数），即函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0，甚至可以有无穷多个点处有f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．利用导数求单调区间时要注意两点：(1)多个增（减）区间之间用“、”或“和”相连接，而不用“∪”;(2)若多个增（减）区间之间有公共区间端点，且函数在端点处连续，一定要合并．正解：令令y=3x2＞0，得x≠0.又f(x)在x=0处连续，则f(x)是R上的增函数．四、对题意理解不清而致错例4.求曲线33yxx的过点(22)A，的切线方程．错解：显然点A在曲线33yxx上，且2()33fxx，(2)9f∴．故所求切线方程为29(2)yx，即9160xy．错解反思:曲线过点A的切线与曲线在点A处的切线不同，前者既包括点A处的切线，也包括过点A但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意．正解：设切点为00()Pxy，，233yx∵，∴在点P处的切线方程为2000(33)()yyxxx．又切线过点A，3200002(3)(33)(2)xxxx∴，整理，得3200340xx，即200(1)(2)0xx．01x∴或02x．∴当01x时，切线方程为2y，当02x时，切线方程为9160xy．五、忽视导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件例5．求函数f(x)=322)2(xx的极值．错解：f(x)的定义城为（-∞，十∞)．f(x)=3231223)1(4)22()2(32xxxxxx。令f(x)=0，得x=1．当x<1时，f(x)>0,f(x)为增函数；当x>1时，f(x)<0,f(x)为减函数．∴f(x)只在x=1处取得极大值f(1)=1.错解反思:可导函数的极值点一定是它的导数为零的点，但导傲为零的点，不一定是该用心爱心专心函傲的极值点．也就是说，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，同时还要注意定义域内导数不存在的点．正确解法:f(x)的定义域为（-∞，十∞),令f(x)=0，得x=1，而x=0和x=2是f(x)不存在的点．列表考察f(x)的符号:由上表可知：函数f(x)的极小值为f(0)=f(2)=0，极大值为f(1)=1.用心爱心专心
