6.2.3向量的数乘运算[A基础达标]设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A．－1或3B.C．－1或4D．3或4解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则()A.AO＝2ODB.AO＝ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有()A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以所以km＝1，即km－1＝0.5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于()A．－AB＋ACB.AB－ACC.AB－ACD．－AB＋AC解析：选C.由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－AC.6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.答案：4b－3a7．已知点P在线段AB上，且|AB|＝4|AP|，设AP＝λPB，则实数λ＝________．解析：因为|AB|＝4|AP|，则AP的长度是PB的长度的，二者的方向相同，所以AP＝PB.答案：8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．答案：－49．计算：(1)＋(3a－2b)－(a－b)；(2)－.解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.(2)原式＝－＝a＋b－a－b＝0.10．已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b.(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；(2)若A，B，C三点共线，求k的值．解：(1)因为2OA－OB＋OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.(2)AB＝OB－OA＝－a＋4b，AC＝OC－OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使AC＝λAB，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝.[B能力提升]11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB，b＝AC，则CG＝()A.a－bB.a＋bC.a－bD.a＋b解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG＝CA＋AG＝－b＋a＋b＝a－b.12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有()①OA＋2OB；②OA＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB.A．①②B．①②④C．①②③D．③④解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE＝λOF＝λ[xOA＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中01，注意到λx＋(1－x)λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.13.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.答案：－214．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)用e，f表示AD；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的模为BC的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．[C拓展探究]15．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)．(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a＝，b＝时，OC＝OA＋OB，所以(OC－OB)＝(OA－OC)，即2BC＝CA，所以BC与CA共线，又BC与CA有公共点C，所以A，B，C三点共线．(2)a＋b为定值1，理由如下：因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，不妨设AC＝λAB(λ∈R)，所以OC－OA＝λ(OB－OA)，即OC＝(1－λ)OA＋λOB，又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，则所以a＋b＝1(定值)．
