第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1(2016·长沙模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1. λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝，y1y2＝，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2016·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．解(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①焦点F(c,0)，因为＝，②将点B(c，)的坐标代入方程①得＋＝1.③由②③结合a2＝b2＋c2，得a＝，b＝1.故所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)由得(2＋t2)y2＋2tλy＋λ2－2＝0.因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)2－4(t2＋2)(λ2－2)＝0，即t2－λ2＋2＝0.④设圆与x轴的交点为T(x0,0)，则TM＝(－－x0，y1)，TN＝(－x0，y2)．因为MN为圆的直径，故TM·TN＝x－2＋y1y2＝0.⑤当t＝0时，不符合题意，故t≠0.因为y1＝，y2＝，所以y1y2＝，代入⑤结合④得TM·TN＝＝，要使上式为零，当且仅当x＝1，解得x0＝±1.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点．题型二定值问题例2(2016·广西柳州铁路一中月考)如图，椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：OP·OQ为定值．(1)解 椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，∴a＝，∴椭圆的方程为＋x2＝1.当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．联立化简得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0,则x1＋x2＝－，x1·x2＝－.∴|CD|＝＝·＝＝，解得k＝±.∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.(2)证明当直线l的斜率不存在时，与题意不符．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0，k≠±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴点P的坐标为(－，0)．由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，且直线AC的方程为y＝(x＋1)，直线BD的方程为y＝(x－1)，将两直线方程联立，消去y，得＝. －1
