第二章随机变量及其分布能力深化提升类型一条件概率【典例1】已知100件产品中有4件次品,无放回地从中抽取2次,每次抽取1件,求下列事件的概率:(1)第一次取到次品,第二次取到正品.(2)两次都取到正品.(3)两次抽取中恰有一次取到正品.【解析】设A={第一次取到次品},B={第二次取到正品}.(1)因为100件产品中有4件次品,即有正品96件,所以第一次取到次品的概率为P(A)=,第二次取到正品的概率为P(B|A)=,所以第一次取到次品,第二次取到正品的概率为P(AB)=P(A)P(B|A)=×≈0.0388.(2)因为A={第一次取到次品},且P()=1-P(A)=,P(B|)=,所以P(B)=P()P(B|)=×≈0.92.(3)两次抽取中恰有一次取到正品,包括事件AB及,所以P(AB∪)=P(A)P(B|A)+P()P(|)≈0.0388+×≈0.0776.【方法总结】条件概率的求法(1)利用定义,分别求出P(A)和P(AB),解得P(B|A)=.(2)借助古典概型的概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含1的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.【巩固训练】5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不放回地取两次,求在第一次取到新球的情况下,第二次取到新球的概率.【解析】设“第一次取到新球”为事件A,“第二次取到新球”为事件B.方法一:因为n(A)=3×4=12,n(AB)=3×2=6,所以P(B|A)===.方法二:P(A)=,P(AB)==.所以P(B|A)===.类型二相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验及二项分布【典例2】(2017·福州高二检测)某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为P1=,乙的命中率为P2,在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.(1)若P2=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率.(2)计划在2016年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,如果E(ξ)≥5,求P2的取值范围.【解析】(1)因为P1=,P2=,根据“先进和谐组”的定义可得,该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中,两人恰好各射中一次,所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率2P=+=.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P=[·P2·(1-P2)]+()=P2-,而ξ～B(12,P),所以E(ξ)=12P,由E(ξ)≥5知,·12≥5,解得:≤P2≤1.【方法总结】求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P(A∪B)=1-P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.【巩固训练】(2017·成都高二检测)甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球,两人投篮命中的概率互不影响.求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率.【解析】设“甲至多命中1个球”为事件A,“乙至少命中1个球”为事件B,由题意得,P(A)=+=+=,P(B)=1-=1-=,所以甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P(AB)=P(A)P(B)=×=.类型三离散型随机变量的分布列及期望与方差3【典例3】(2016·天津高考)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率.(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)利用组合数表示出事件个数.(2)确定随机变量X的可能取值,计算相应的概率,再列出分布列,计算数学期望.【解析】(1)由已知事件A:选2人参加义工活动,次数之和为4,则P==.(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,P==,P==,P==,则X的分布列为:X012PE=+=1.【方法总结】求离散型随机变量的期望与方差的步骤4【巩固训练】(2017·南昌高二检测)A,B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同,已知A,B两个方案至少一个方案试验成功的概率是0.36.(1)求两个方案均成功的概率.(2)设试验成功的方案的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).【解析】(1)设A,B方案独立进行科学试验成功的概率均为x,则A,B两个试验方案...
