三直线的参数方程课后篇巩固探究A组1.已知以t为参数的直线方程为{x=-1+t2,y=2+√32t,点M0(-1,2)与M(x,y)分别是曲线上的定点和动点,则t的几何意义是()A.t=⃗M0M·a(a=(1,0))B.t=⃗MM0·a(a=(1,0))C.|t|=|⃗M0M|D.|t|=2√2解析由于所给参数方程表示直线参数方程的标准形式,所以t的几何意义是|t|=|⃗M0M|.答案C2.直线{x=-2+5t,y=1-2t(t为参数)与坐标轴的交点坐标是()A.(0,25),(12,0)B.(0,15),(12,0)C.(0,-4),(8,0)D.(0,59),(8,0)解析令x=0得t=25,于是y=15,即直线与y轴的交点坐标为(0,15);令y=0得t=12,于是x=12,即直线与x轴的交点坐标为(12,0).答案B3.若直线的参数方程为{x=x0+12t,y=y0-√32t(t为参数),则该直线的倾斜角为()A.60°B.120°C.300°D.150°解析y-y0=-√3(x-x0),斜率k=-√3,倾斜角为120°.答案B4.过点(1,1),倾斜角为135°的直线截圆x2+y2=4所得的弦长为()A.2√25B.4√25C.2√2D.3√25解析直线的参数方程为{x=1-√22t,y=1+√22t(t为参数),将其代入圆的方程得t2+2=4,解得t1=-√2,t2=√2.所以所求弦长为|t1-t2|=|-√2−√2|=2√2.答案C5.导学号73574050若{x=x0-3λ,y=y0+4λ(λ为参数)与{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是()A.λ=5tB.λ=-5tC.t=5λD.t=-5λ解析由{x=x0-3λ,x=x0+tcosα,得-3λ=tcosα.由{y=y0+4λ,y=y0+tsinα,得4λ=tsinα,消去α的三角函数,得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.答案C6.直线{x=3+at,y=-1+4t(t为参数)过定点.解析由{x=3+at,y=-1+4t,得-(y+1)a+(4x-12)=0,该式对于任意的a都成立,则x=3,y=-1,即直线过定点(3,-1).答案(3,-1)7.直线l:{x=-1+√3t,y=1+t(t为参数)上的点P(-4,1-√3)到l与x轴的交点Q的距离是.解析在直线l:{x=-1+√3t,y=1+t中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1-√3,0).所以|PQ|=√(-1-√3+4)2+(√3-1)2=√4(√3-1)2=2√3-2.答案2√3-28.若直线{x=1-2t,y=2+3t(t为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=.解析由已知可得直线{x=1-2t,y=2+3t的斜率为-32,因此直线4x+ky=1的斜率等于23,于是k=-6.答案-69.设直线的参数方程为{x=5+3t,y=10-4t(t为参数).(1)求直线的普通方程;(2)化参数方程为标准形式.解(1)由y=10-4t,得t=10-y4,将其代入x=5+3t,得x=5+3×10-y4.化简得普通方程为4x+3y-50=0.(2)把方程变形为{x=5+3t=5-35×(-5t),y=10+45×(-5t).令t'=-5t,则参数方程的标准形式为{x=5-35t',y=10+45t'(t'为参数).10.导学号73574051已知直线l经过点P(-1,2),且方向向量为n=(-1,√3),圆的方程为ρ=2cos(θ+π3).(1)求直线l的参数方程;(2)设直线l与圆相交于M,N两点,求|PM|·|PN|的值.解(1) n=(-1,√3),∴直线l的倾斜角为2π3.∴直线l的参数方程为{x=-1+tcos2π3,y=2+tsin2π3(t为参数),即{x=-1-12t,y=2+√32t(t为参数).(2) ρ=2(12cosθ-√32sinθ)=cosθ-√3sinθ,∴ρ2=ρcosθ-√3ρsinθ.∴x2+y2-x+√3y=0.将直线的参数方程代入得t2+(3+2√3)t+6+2√3=0.∴|t1t2|=6+2√3,即|PM|·|PN|=6+2√3.11.导学号73574052求经过点(1,1),倾斜角为120°的直线截椭圆x24+y2=1所得的弦长.解由直线经过点(1,1),倾斜角为120°,可得直线的参数方程为{x=1-12t,y=1+√32t(t为参数),将其代入椭圆的方程,得(1-12t)24+(1+√32t)2=1,整理,得13t2+4(4√3-1)t+4=0.设方程的两实根分别为t1,t2,则t1+t2=4(1-4√3)13,t1t2=413.|t1-t2|=√(t1+t2)2-4t1t2=√42132(1-4√3)2-4213=413√(1-4√3)2-13=413√4(9-2√3)=8√9-2√313.所以直线被椭圆所截得的弦长为8√9-2√313.B组1.直线{x=2-t,y=-3+t(t为参数)上与点A(2,-3)的距离等于1的点的坐标是()A.(1,-2)或(3,-4)B.(2-√2,-3+√2)或(2+√2,-3-√2)C.(2-√22,-3+√22)或(2+√22,-3-√22)D.(0,-1)或(4,-5)解析根据题意可设直线上任意一点的坐标为P(2-t,-3+t),则|PA|=2t2=1,解得t=±√22.当t=√22时,点P的坐标为(2-√22,-3+√22);当t=-√22时,点P的坐标为(2+√22,-3-√22).故所求的点的坐标为(2-√22,-3+√22),(2+√22,-3-√22).答案C2.过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长是()A.16B.3C.163D.316解析抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),又倾斜角为π3,所以弦AB所...
