高考必考题突破讲座(二)三角函数、解三角形、平面向量及其应用[解密考纲]近几年的高考全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题．在解题过程中要抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．1．(2018·江苏南京、盐城一模)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．解析(1)由图象知A＝2，又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.(2)当x∈时，x＋∈，所以sin∈，即f(x)∈[－，2]．2．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解析(1)在△ABC中，因为A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.3．四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积．解析(1)∵A＋C＝π，∴cosA＝－cosC．在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝32＋22－2×3×2×cosC＝13－12cosC，在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝12＋22－2×1×2×cosA＝5＋4cosC，联立上式，解得BD＝，cosC＝.由于C∈(0，π)，∴C＝，BD＝.(2)∵A＋C＝π，C＝，∴sinA＝sinC＝.又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·ADsinA＋CB·CDsinC＝×(1＋3)＝2，∴四边形ABCD的面积为2.4．已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．解析(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点和.所以即解得(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)得sin＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，因此g(x)＝2sin＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.5．(2018·湖北重点中学高三起点考试)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．解析(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋2cos.∵y＝cosx在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，∴令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，∴cos＝－1，又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝，∵a＝，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝.∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，∴2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，则b＝，c＝1.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosA．(1)若△ABC的面积S＝，求证：a≥；(2)如图，在(1)的条件下，若M，N分别为AC，AB的中点，且＝，求b，c.解析(1)由acosB＋bcosA＝2ccosA及正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，即sin(A＋B)＝2sinCcosA，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sinC≠0，所以cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝，由S＝bcsinA＝可得bc＝2.在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝2，当且仅当b＝c＝时取等号，所以a≥.(2)因为M，N分别为AC，AB的中点，所以AM＝AC＝b，AN＝AB＝c，在△ABM中，由余弦定理可得，BM2＝c2＋－bc，在△ACN中，由余弦定理可得，CN2＝＋b2－bc，由＝可得，c2＋－bc＝，整理得(c＋8b)(c－2b)＝0，所以c＝2b，又bc＝2可得b＝1，c＝2.
