第三章导数及其应用考纲链接1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．①常见的基本初等函数的导数公式：(C)′＝0(C为常数);(xn)′＝nxn－1(n∈N＋)；(sinx)′＝cosx;(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex;(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)；(lnx)′＝；(logax)′＝logae(a>0，且a≠1)．②常用的导数运算法则：法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．法则3：′＝(v(x)≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．§3.1导数的概念及运算1．导数的概念(1)定义如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作或，即f′(x0)＝＝.(2)导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.(3)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法①求函数的增量Δy＝；②求平均变化率＝；③取极限，得导数f′(x0)＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝(c为常数)，(xα)′＝(α∈Q*)；(2)(sinx)′＝____________，(cosx)′＝____________；(3)(lnx)′＝，(logax)′＝；(4)(ex)′＝____________，(ax)′＝.4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)]′＝________.(3)′＝(g(x)≠0)．自查自纠：1．(1)可导f′(x0)(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)②2．f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．(1)0αxα－1(2)cosx－sinx(3)(4)exaxlna4．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)(3)若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1，1)B．(－1，－1)C．(1，1)或(－1，－1)D．(1，－1)解：y′＝3x2，令3x2＝3，得x＝±1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故选C.曲线y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线方程是()A．x－3y－3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0解： y＝sinx＋ex，∴y′＝cosx＋ex，∴y′|x＝0＝cos0＋e0＝2，∴曲线y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.故选C.()已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.D．－解：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点(x0，lnx0)，则＝，切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.故选C.1()已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．解：因为f′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3.故填3.()曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．解：由y＝－5ex＋3⇒y′＝－5ex，于是切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即y＝－5x－2.故填y＝－5x－2.类型一导数的概念用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数．解法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋Δx2，所以＝＝[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋...
