第2讲平面向量一、选择题1．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0，又a与b不共线，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0，∴k＝－1，此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.故c与d反向，选D.答案：D2．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为()A．1B．－1C.D．－解析：由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，∴解得答案：D3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋b解析：设c＝xa＋yb，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴解得则c＝a－b.答案：B4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及所在平面内一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在边AB上D．P在边AC上解析：由PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，得2PA＋PC＝0，∴CP＝2PA，即CP∥PA，∴C、P、A三点共线．答案：D5．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0解析：设a＋b＝λc，b＋c＝μa，则a－c＝λc－μa，所以(1＋μ)a＝(1＋λ)c，因为a，c不共线，所以μ＝λ＝－1，所以a＋b＋c＝0.故选D.答案：D6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()A.B.C.D.解析：|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×＋4＝3，∴|a＋2b|＝.答案：B7．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝()A.B.C．2D．10解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.答案：B8．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－解析：a·b＝|a||b|cos，则3＋m＝2··，(＋m)2＝9＋m2，解得m＝.答案：B9．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若|OA|＝|AB|，且2OA＋AB＋AC＝0，则CA·CB等于()A.B．2C.D．3解析：因为2OA＋AB＋AC＝0，所以(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝0，即OB＋OC＝0，所以O为BC的中点，故△ABC为直角三角形，∠A为直角，又|OA|＝|AB|，则△OAB为正三角形，|AC|＝，|AB|＝1，CA与CB的夹角为30°，由数量积公式可知CA·CB＝×2cos30°＝×2×＝3.选D.答案：D10．在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析：设BC边中点为D，∵AC2－AB2＝2AM·BC，∴(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AM·BC，即AD·BC＝AM·BC，∴MD·BC＝0，则MD⊥BC，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C.答案：C11．若OP＝OA＋λ(λ>0)，则点P的轨迹经过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心解析：，分别表示与AB，AC方向相同的单位向量，记为AE，AF.以AE，AF为邻边作▱AEDF，则▱AEDF为菱形．∴AD平分∠BAC且＋＝AD.∴OP＝OA＋λ＝OA＋λAD.∴AP＝λAD.∵λ>0，∴点P的轨迹为射线AD(不包括端点A)．∴点P的轨迹经过△ABC的内心．答案：D12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是()A.B.C.D.解析：设a与b的夹角为θ.∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b>0，∴a·b<，又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝<＝，即cosθ<，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.答案：C二、填空题13．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝__________.解析：由a＝(－2，－6)，得|a|＝＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝2··＝10.答案：1014．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用OA和OB来表示向量OC，则OC等于__________．解析：根据三角形三边关系：AC＝AB，OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB.答案：OA＋OB15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若aGA＋bGB＋cGC＝0，则A＝__________.解析：由G为△ABC的重心知GA＋GB＋GC＝0，则GC＝－GA－GB，因此aGA＋bGB＋c(－GA－GB)＝GA＋GB＝0，又GA，GB不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c.由余弦定理得cosA＝＝＝，又0
