第一课时导数与函数的单调性时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a
f(b)>f(a)．答案C2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，可得00，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)1解析f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．答案A6．已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．3解析设f(x)＝＋lnx＝＋lnx－1，则f′(x)＝－＋＝.当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝0.∴a≤0，故a的最大值为0.故选A.答案A二、填空题7．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调情况是________．解析在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．答案单调递增8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．解析 f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.答案－49．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.解析若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，则m2－4＝0，m＝±2.若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.答案－2三、解答题10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解(1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极值.得即解之得a＝，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.由f′(x)<0，得00，得x>1.所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．11．(2015·长春模拟)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．解(1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝，则当x∈(0,1)时，f′(x)<0，所以(0,1)为f(x)的单调递减区间．当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，(1，＋∞)为f(x)的单调递增区间．(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．1．(理)(2014·辽宁卷)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析不等...
