课时跟踪检测(二十七)正弦定理和余弦定理一、题点全面练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B由正弦定理知，＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝()A．2B．3C．4D．6解析：选C由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)，故选C.3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为()A.B.C．2D.解析：选D由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，则sinA＝.由b2＝ac，得sin2B＝sinAsinC，∴＝，∴＝＝＝.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：选C ＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．5．(2019·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于()A．5＋B．12C．10＋D．5＋2解析：选A在△ABC中，∠A＝60°. 2sinB＝3sinC，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sinA，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则CD＝________.解析：设BD＝x，过点E作EF⊥AB于点F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝x， tanθ＝，∴tan2θ＝，∴在Rt△EFD中，EF＝xsin2θ，DF＝xcos2θ， ＝，∴＝，∴tan2θ＝＝，解得x＝，∴AD＝，∴CD＝.答案：7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．解析： ＝，由正弦定理可知＝⇒tanA＝tanB，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos2B＝－cosC＝－＝1－2sin2B，解得sinB＝，cosB＝，tanB＝. AB＝c＝3，∴C到AB的距离h＝×tanB＝×＝，∴△ABC的面积为×AB×h＝.答案：8．(2019·菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝________.解析：由acosB－c－＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－＝0.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－－cosAsinB＝0，因为sinB≠0，所以cosA＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2.答案：29．(2019·惠州调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．解：(1) 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，又0°＜B＜180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－，又0°＜C＜180°，∴C＝120°.(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又a＞0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absinC＝，∴△ABC的面积为.10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bcsinA＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，解得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D由已知＝＝＝，得＝或＝0，即＝或C...
