高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式真题演练集训理新人教A版1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin20°cos10°－cos160°·sin10°＝()A．－B.C．－D.答案：D解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°·cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝，故选D.2．[2016·四川卷]cos2－sin2＝________.答案：解析：由二倍角公式，得cos2－sin2＝cos＝.3．[2015·四川卷]sin15°＋sin75°的值是________．答案：解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝＝(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝sin60°＝×＝.4．[2015·江苏卷]已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．答案：3解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1][改编题]已知函数f(x)＝2sinωx－4sin2＋2＋a(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4，求a的值．[解](1)f(x)＝2sinωx－4sin2＋2＋a＝2sin＋a，由题意，知2ω＋＝，得ω＝.所以最小正周期T＝＝16.(2)f(x)＝2sin＋a，因为x∈[6,16]，所以x＋∈.由图象可知(图略)，当x＋＝，即当x＝16时，f(x)的最大值，由2sin＋a＝4，得a＝2.2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．[典例2]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．[解](1)因为a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理，得cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意，得＝，因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为C＝，A＋B＝，所以sin(A＋B)＝.因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2＝x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3]已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，是共线向量．(1)求角A；(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值．[思路分析](1)→――→→(2)→[解](1)因为p，q共线，所以(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，则sin2A＝.又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin＋1.因为B∈，所以2B－∈，所以当2B－＝时，函数y取得最大值，解得B＝，ymax＝2.