第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第1课时椭圆A级基础巩固一、选择题1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋＝1B．x2＋＝1C．y2＋＝1D．y2＋＝1解析：易知cosθ＝x，sinθ＝，所以x2＋＝1.答案：A2．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A．0B．1C．0或1D．2解析：由得x＋y－2＝0(－1≤x≤0，1≤y≤2)，由得＋＝1.可知两曲线交点有1个．答案：B3．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点P的坐标是()A．(3，4)B.C．(－3，－4)D.解析：因为＝tanθ＝tan＝1，所以tanθ＝，所以cosθ＝，sinθ＝，代入得点P的坐标为.答案：D4．参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cosθ所表示的图形分别是()A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆解析：对于参数方程(θ为参数)，利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为＋y2＝1，表示椭圆．ρ＝－6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝－6ρcosθ，化为普通方程为x2＋y2＝－6x，即(x＋3)2＋y2＝9.表示以(－3，0)为圆心，3为半径的圆．答案：D5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x－y－a＝0过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为()A．3B．－3C．2D．－2解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，1所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过椭圆的右顶点(3，0)．则3－0－a＝0，所以a＝3.答案：A二、填空题6．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．解析：因为消去参数t得2x＋y－3＝0.又消去参数θ得＋＝1.方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，将代入＋＝1，得＝1.又a>0，所以a＝.答案：7．已知P是椭圆＋＝1上的动点，O为坐标原点，则线段OP中点M的轨迹方程是________．解析：设P(4cosθ，2sinθ)，M(x，y)，则由中点坐标公式得即(θ为参数)，消去θ得动点M的轨迹方程是＋＝1.答案：＋＝18．直线x＋y＝2被椭圆(φ为参数)截得的弦长为________．解析：把代入x＋y＝2得cosφ＋sinφ＝.即sin＝，于是φ＝0或φ＝，得两交点M(2，0)，N(，)，|MN|＝＝.答案：三、解答题9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，解得t2＝，所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，所以交点坐标为.9．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．解：将(0≤θ<π)化为普通方程得＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，将x＝t2，y＝t代入得t4＋t2－1＝0，解得t2＝，所以t＝(y＝t≥0)，x＝t2＝×＝1，所以交点坐标为.10．已知椭圆的参数方程为(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离．解：设点P(3cosθ，2sinθ)，直线可化为2x＋3y－10＝0，点P到直线的距离d＝＝.因为sin∈[－1，1]，所以d∈，所以点P到直线的最短距离dmin＝.B级能力提升1．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为()A．2B．4C.＋D．22解析：椭圆为＋＝1，设P(cosθ，2sinθ)，x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sin≤2.答案：D2．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆，(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．解析：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b得：4sinθ＝2cosθ＋b.因为恒有公共点，所以方程有解．令f(θ)＝b＝4sinθ－2cosθ＝2sin(θ－φ).所以－2≤f(θ)≤2.所以－2≤b≤2.答案：[－2，2]3．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解：(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．3
