八不等式选讲(B)1.(2018·呼伦贝尔一模)已知a>0,b>0,且a+b=1.(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.2.(2018·梅州二模)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.3.(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)若f(x)≥+(m>0,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;(2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.4.(2018·上饶三模)已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.(1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)设k>-1,且当x∈-,时,都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.1.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,由ab≤m恒成立,故m≥.(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=2b时取等号,故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,当-22时,3≥1恒成立,故x>2;综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)-x2+x≥m成立,即m≤[f(x)-x2+x]max.设g(x)=f(x)-x2+x.由(1)知,g(x)=当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,其开口向下,对称轴方程为x=>-1,所以g(x)≤g(-1)=-1-1-3=-5;当-10,n>0,解得m+n≥,当且仅当m=n时等号成立,故m+n的最小值为.(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线,则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,由图象可知-3≤a≤.4.解:(1)当k=-3时,f(x)=故不等式f(x)≥4可化为或或解得x≤0或x≥,所以所求解集为{xx≤0或x≥}.(2)当x∈[-,)时,由k>-1有3x-1<0,3x+k≥0,所以f(x)=1+k,不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,故k≤x+3对x∈[-,)恒成立,即k≤-+3,解得k≤,而k>-1,故-1
