第十一章计数原理、随机变量及分布列第5课时独立性及二项分布(理科专用)1.已知X～B，则P(X＝2)＝________.答案：解析：P(X＝2)＝C＝.2.如图所示，在两个圆盘中指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．答案：解析：由独立事件发生的概率得P＝·＝.3.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85](g)范围内的概率是________．答案：0.02解析：由互斥事件可得概率为0.32－0.3＝0.02.4.在一次考试中出了6道判断题，正确的记“”，不正确的记“”．若某考生完全随意记上了6个符号，则正确答案不少于4道的概率为________．答案：解析：“正确答案不少于4道”包括有4道题正确、有5道题正确和有6道题全正确，故所求概率是P6(4)＋P6(5)＋P6(6)＝C··＋C··＋C·＝.5.一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ＝4”的概率为________．答案：解析：当ξ＝4时，即前3次取球恰有一次取到白球，因每次取到白球的概率P＝，每次取到红球的概率P′＝，所以P(ξ＝4)＝C＝(或前3次取球中恰有两次取到红球，一次取到白球，而第四次又恰好取到红球，因为每次取到红球的概率P＝，所以P(ξ＝4)＝C··＝)．6.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响，则射手在3次射击中恰有两次连续击中目标的概率是________．答案：0.288(或)解析：×＋×＝＝0.288.7.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有如下结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确的结论是________．(填序号)答案：①③解析：他恰好击中目标3次的概率是C×0.93×0.1.8.(改编)某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知某学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且回答两个问题相互之间没有影响．则该学生至少答对第一、二两题中一题的概率为________．答案：0.8解析：设“该学生答对第一题”为事件A，“该学生答对第二题”为事件B.则“该学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为P＝P(AB＋AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＋0.5×0.6＝0.8.9.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8C对相交棱．∴P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P(ξ＝)＝＝＝，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.∴随机变量ξ的分布列是ξ01P10.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．解：设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k∈(1，2，3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝＋××＋2×2×＝＋＋＝.(2)ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知：P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝＋×＝，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝××＋22＝，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝22＝.综上知，ξ的分布列为ξ123P11.某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00、8∶20、8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为，8∶20发出的概率为，8∶40发出的概率为；第二班客车在9∶00、9∶20、9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为，9∶20发出的概率为，9∶40发出的概率为.两班客车发出时刻是相互独立的，张先生预计8∶10到站．(1)请预测张先生乘到第一班客车的概率；(2)求张先生候车时间的分布列．解：(1)第一班若在8∶20或8∶40发出，则张先生能乘到，其概率为P＝＋＝.(2)张先生候车时间的分布列为候车时间(分)1030507090P
