第二讲数列的综合问题1．(2019·长春二模)各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n.解析：(1)各项均为整数的等差数列{an}，公差设为d，d为整数，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列，可得a＝a2(1＋S4)，即(－1＋2d)2＝(－1＋d)(－3＋6d)，可得d＝2，则an＝2n－3.(2)由(1)可得T2n＝－a1＋a2－a3＋a4＋…－a2n－1＋a2n＝(1＋1)＋(－3＋5)＋…＋(5－4n＋4n－3)＝2＋2＋…＋2＝2n.2．(2019·金凤区校级一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝20，S9＝45.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求当Sn取得最大值时n的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝20，S9＝45.∴a1＋d＝20,9a1＋36d＝45，联立解得：a1＝25，d＝－5，∴an＝25－5(n－1)＝30－5n.(2)Sn＝＝＝－2＋，可得：n＝5，或6时，Sn取得最大值．3．(2019·安庆二模)已知等比数列{an}满足：S1＝1，S2＝4.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵S1＝1，S2＝4.∴a1＝1，a1(1＋q)＝4，解得：a1＝1，q＝3.∴an＝3n－1.Sn＝＝(3n－1)．(2)bn＝＝＝－，∴数列{bn}的前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.4．(2019·潍坊一模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n－1，Sn＝＝，(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，故存在常数，使得数列是等比数列．5．(2019·烟台一模)已知等差数列{an}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解析：(1)因为{an}是公差为1的等差数列，且a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，即(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n.(2)Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n，Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1两式相减得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1所以Tn＝－n×n＋1＝1－－所以Tn＝2－.6．(2019·衡阳一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a3＋a8＝2a5＋2.(1)求an；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.解析：(1)等差数列{an}的公差设为d，S3＝15，a3＋a8＝2a5＋2，可得3a1＋3d＝15,2a1＋9d＝2(a1＋4d)＋2，解得d＝2，a1＝3，则an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)证明：∵＝＝＝，∴前n项和Tn＝＝＝－.由>0，可得Tn<.
