课时作业(二十五)第25讲平面向量基本定理及坐标表示基础热身1.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()A.a-b,b-aB.a+b,a-bC.2b-3a,6a-4bD.2a+b,a+b2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3)3.在△ABC中,D为BC上一点,且=,以向量,作为一组基底,则=()A.+B.+C.+D.+4.[2017·北京昌平区二模]已知a=(1,),b=(,k),若a∥b,则k=.5.[2017·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]在△ABC中,D为边BC上靠近点B的三等分点,连接AD,E为AD的中点,若=m+n,则m+n=.能力提升6.[2017·广州月考]已知点A(1,-1),B(2,t),若向量=(1,3),则t=()A.2B.3C.4D.-27.已知向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值为()A.-B.C.-D.8.[2017·吉林梅河口一模]向量a,b,c在正方形网格中的位置如图K25-1所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=()图K25-1A.2B.4C.5D.79.[2017·四川凉山一诊]设向量a=(cosx,-sinx),b=-cos-x,cosx,且a=tb,t≠0,则sin2x=()A.1B.-1C.±1D.010.如图K25-2所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m++,则实数m的值为()图K25-2A.B.C.1D.311.[2017·株洲一模]平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且与共线,则x=.12.[2017·潮州二模]在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则=(用坐标表示).13.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.14.(15分)[2017·太原模拟]已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.难点突破15.(5分)[2017·湖北重点中学联考]已知G为△ADE的重心,点P为△DEG内一点(含边界),B,C分别为AD,AE上的三等分点(B,C均靠近点A),若=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.16.(5分)[2017·四川资阳三诊]在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的半圆分别交BA及BA的延长线于点M,N,点P在上运动(如图K25-3所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-5μ的取值范围为()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2]图K25-3课时作业(二十五)1.B[解析]显然向量a+b与向量a-b不共线,故选B.2.A[解析]易得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1),故选A.3.D[解析]由题意得=+=+(-)=+,故选D.4.3[解析]∵a=(1,),b=(,k),a∥b,∴k×1-×=0,∴k=3.5.-[解析]由图可知=(+)=-=(-)-=-,∴m+n=-=-.6.A[解析]由题意得=(2-1,t+1)=(1,3),则t+1=3,解得t=2,故选A.7.C[解析]由已知可得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x),∴∴∴λ+x=-,故选C.8.B[解析]以a的终点,b的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由题意得c=(-λ+6μ,λ+2μ)=(-1,-3),则有解得故=4.9.C[解析]因为b=-cos-x,cosx=(-sinx,cosx),a=tb,所以cosxcosx-(-sinx)(-sinx)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tanx=±1,所以x=+(k∈Z),则2x=kπ+(k∈Z),所以sin2x=±1,故选C.10.A[解析]=m++=m+,设=t(0≤t≤1),则=+=+t(+)=+t-=(1-t)+t,所以m=1-t且=,故m=1-t=1-=,故选A.11.1[解析]由题知=(3,6),=(x-3,-4).因为与共线,所以3×(-4)-6(x-3)=0,解得x=1.12.(-6,21)[解析]依题意得=3.因为点Q是AC的中点,所以+=2,所以=2-=(-2,7),故=3=(-6,21).13.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴解得(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),∴M(0,20).又∵=-=-2b,∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2),∴=(9,-18).14.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,则有故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),所以=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,又与有公共点A,所以不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.15.D[解析]由题意可知,点P位于D,E,G三点时,α+β取得最值.当点P在点D处时,α=3,β=0,则α+β=3;当点P在点E处时,α=0,β=3,则α+β=;当点P在点G处时,α=1,β=1,则α+β=.故选D.16.C[解析]建立平面直角坐标系如图所示,则B(2,0),D(0,1),E(2,1),F1,.设P(cosα,sinα)(0≤α≤π),由=λ+μ得(cosα,sinα)=λ(2,1)+μ-1,,则2λ-5μ=2cosα-2sinα=2sinα+,又0≤α≤π,所以≤α+≤,则-2≤2sinα+≤2,所以2λ-5μ的取值范围是[-2,2],故选C.
