课时限时检测(五十)双曲线(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．5B．3C．7D．3或7【答案】D2．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x【答案】C3．(2013·福建高考)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.D.【答案】C4．(2013·湖北高考)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D5．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4B．8C．24D．48【答案】C6．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为．【答案】x2－＝18．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【答案】9．(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设双曲线－＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．【解】由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入，平方后整理，得34－162＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，又e＞1，故e＝或e＝2.又∵0＜a＜b，∴e＝＝＝＞，∴应舍去e＝，故所求离心率e＝2.11．(12分)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．【解】切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80.∴所求的双曲线方程为－＝1.12．(13分)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y＝x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P，A2P分别与直线l：x＝交于M，N两点(1)求双曲线的方程；(2)FM·FN是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．【解】(1)由双曲线的渐近线方程为y＝x，焦点F(5,0)可得：＝，c＝5，又c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝16，∴双曲线方程为－＝1.(2)A1(－3,0)，A2(3,0)，F(5,0)，设P(x，y)，M，∴A1P＝(x＋3，y)，A1M，因为A1，P，M三点共线，∴(x＋3)y0－y＝0，∴y0＝，∴M，同理N，∴FM＝，FN＝，FM·FN＝－·，∵＝，∴FM·FN＝0，故FM·FN为定值0.
