第二章推理与证明1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（）A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个是偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数解析：选B.对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.12345…20132014201520163579…………40274029403181216…………………805680602028…………………16116…………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A.2017×22013B.2017×22014C.2016×22015D.2016×22014解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23.归纳推理，得当第一行为2016个数时，最后一行仅一个数，为2017×22014.故选B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为R的球的内接六面体中，”.（）A.长方体的体积最大，最大值为2R3B.正方体的体积最大，最大值为3R3C.长方体的体积最大，最大值为D.正方体的体积最大，最大值为解析：选D.类比可知半径为R的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等于球的直径，即a＝2R，得a＝，体积V＝a3＝.故选D.4.已知a，b，c，d∈（0，＋∞）.求证ac＋bd≤.证明：法一：（分析法）欲证ac＋bd≤，只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，即证2abcd≤a2d2＋b2c2，即证0≤（bc－ad）2，而a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2显然成立，1故原不等式成立.法二：（综合法）（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，所以≥ac＋bd.5.已知数列{an}满足关系式a1＝a（a>0），an＝（n≥2，n∈N*），（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.解：（1）a2＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.（2）因为a1＝a＝，a2＝，…，猜想an＝.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，因为a1＝a＝，所以当n＝1时结论正确.②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时结论正确，即ak＝，所以当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时结论也正确.根据①与②可知命题对一切n∈N*都正确.2
