第1节含绝对值的不等式及其解法课时作业1．设函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)如果对x∈R，f(x)≥1，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f(x)＝函数f(x)的图像如图所示．由图像可知，函数f(x)的最小值为3.(2) 对x∈R，f(x)≥1，∴|x－a|＋|x－4|≥1对任意实数x都成立． |x－a|＋|x－4|＝|a－x|＋|x－4|≥|a－4|，∴|a－4|≥1，解得a≥5或a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]∪[5，＋∞)．2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．解：(1) 函数f(x)＝|2x－a|＋a，故不等式f(x)≤6，即，求得a－3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，可得a－3＝－2，∴实数a＝1.(2)在(1)的条件下，f(x)＝|2x－1|＋1，∴f(n)＝|2n－1|＋1存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立．即f(n)＋f(－n)≤m，即|2n－1|＋|2n＋1|＋2≤m.由于|2n－1|＋|2n＋1|≥(2n－1)－(2n＋1)＝2，∴|2n－1|＋|2n＋1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．3．设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；1(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A[－1,3]，求a的取值范围．解：(1)由于a＝1，f(x)＝当x＜1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤；当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为(－∞，]∪[3，＋∞)．(2)当a＜2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]，由A[－1,3]，得解得a≥1，又a＜2，故1≤a＜2；当a≥2时，g(x)＝2＜x≤a，g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，由A[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a的取值范围为[1,3]．4．已知函数f(x)＝|x－2|.(1)求不等式f(x)＋x2－4＞0的解集；(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)＜g(x)的解集非空，求实数m的取值范围．解：(1)由题意，x－2＞4－x2，或x－2＜x2－4，由x－2＞4－x2得x＞2或x＜－3；由x－2＜x2－4得x＞2或x＜－1，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}；(2)原不等式等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m的解集非空， |x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，∴3m＞9，∴m＞3.5．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|x＋1|－x.(1)解不等式f(x)＞g(x)；(2)若存在实数x，使不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)能成立，求实数m的最小值．解：(1)由题意不等式f(x)＞g(x)可化为|x－2|＋x＞|x＋1|，当x＜－1时，－(x－2)＋x＞－(x＋1)．解得x＞－3，即－3＜x＜－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x＞x＋1，解得x＜1，即－1≤x＜1；当x＞2时，x－2＋x＞x＋1，解得x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f(x)＞g(x)的解集为{x|－3＜x＜1或x＞3}．(2)由不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)可得m≥|x－2|＋|x＋1|，∴m≥(|x－2|＋|＋1|)min， |x－2|＋|x＋1|≥|x－2－(x＋1)|＝3，2∴m≥3，故实数m的最小值是3.6．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－a|(a∈R)．(1)若a＝1，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若函数f(x)的最小值为3，求实数a的值．解：(1)当a＝1，f(x)＝2|x＋1|＋|x－1|＝当x≥1时，3x＋1≥5，即x≥，∴x≥；当－1＜x＜1时，x＋3≥5，即x≥2，此时x无实数解；当x≤－1时，－3x－1≥5，即x≤－2，∴x≤－2.综上所述，不等式的解集为{x|x≤－2，或x≥}．(2)当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|最小值为0，不符合题意，当a＞－1时，f(x)＝∴f(x)min＝f(－1)＝1＋a＝3，此时a＝2；当a＜－1时，f(x)＝f(x)min＝f(－1)＝－1－a＝3，此时a＝－4.综上所示，a＝2或a＝－4.7．(2019长春三模)已知函数f(x)＝|2x|＋|2x＋3|＋m，m∈R.(1)当m＝－2时，求不等式f(x)≤3的解集；(2)对于x∈(－∞，0)，都有f(x)≥x＋恒成立，求m的取值范围．解析：(1)当m＝－2时是，f(x)＝|2x|＋|2x＋3|－2＝当解得0≤x≤；当－＜x＜0,1≤3恒成立．当解得－2≤x≤－，此不等式的解集为.(2)f(x)＝|2x|＋|2x＋3|＋m＝，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝|2x|＋|2x＋3|＋m＝当－＜x＜0时，f(x)＝3＋m，当x≤－，f(x)＝－4x－3＋m单调递减，∴f(x)的最小值为3＋m，设g(x)＝x＋(x＜0)当－x＞0，－x＋≥2，...
