转化思想在排列、组合中的应用有些排列组合问题，直接考虑不易解决，分类讨论又十分麻烦，如果运用转化思想，转换角度，将其转化为等价的问题，不但能拓宽思路，还能避繁就简，化难为易．1．转换角色有些排列组合问题，从表面上看是可重复元素的问题，若交换元素与位置的关系，就可以化为相异元素的排列组合问题．例1有两个a，三个b，四个c共九个字母排成一排，有多少种排法?解析：若将字母作为元素，1～9号位置作为位子，那么这是一个可重复元素的排列问题，若转换角色，将1～9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化为相异元素的组合问题．易知共有2349741260CCC··种不同排法．2．减少位置通过减少位置把问题固定，然后把减少的位置再插进固定的位置里．例2一排6把椅子上坐3人，每2人之间至少有一把空椅子，求共有多少种不同的坐法?解析：将问题转化为3个人坐5把椅子，然后插一把空椅子的问题．3个人若坐5把椅子，每2人之间有一把空椅子，有33A种坐法，然后将余下的那把椅子插入3个坐位产生的4个空中，有4种插法，所以共有33424A种不同的坐法．3．以人换物把死位置换成活人，可以避免产生元素和位置混淆的现象，使问题形象化．例3从1，2，3，…，2000这两千个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?解析：将问题转化为10名女学生不相邻地插入站成一列横队的1990名男学生之间（包括首尾两侧）有多少种方法?因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生．于是，这就是1991个位置中任选10个位置的组合问题，故共有101991C种方法．4．构造模型对于“至少一个”的组合问题，分类讨论十分麻烦，通过构造闸板模型将问题转化．例46人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法？解析：将问题转化为10个相同的球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放1个球，有多少种不同的放法?即把排成一行的10个1分成6份的方法数，这样用5块闸板插在9个间隔中，共有89126C种．即原问题有126种不同的带法．5．等价转化将原问题等价转化为另一问题，通过对新问题的研究达到解决原问题的目的．例5马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?解析：将问题转化为3个相同的黑球不相邻地插入6个相同的白球之间（不包括首尾两用心爱心专心侧），有多少种方法?因为任意2个相邻白球之间最多插1个黑球，于是，这就是从5个位置中任选3个位置的组合问题，故共有3510C种方法．所以，原题答案为10种方法．例6某人射击8枪，共命中4枪，并且这4枪中有且仅有3枪连中，那么对于该人射击8枪，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果共有多少种?解析：把问题转化为4个相同的黑球，其中3个黑球连在一起看成一个，不相邻地插入4个相同的白球之间（包括首尾两侧），有多少种方法?因为任意相邻2个白球之间最多插入一个黑球，于是，这就是将2个（三个连在一起的看成一个）黑球插入5个空位，有2520A种方法．用心爱心专心
