第3节定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知识梳理1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑f(ξi)Δx＝∑f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.(2)定积分的几何意义f(x)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).3.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a).[微点提醒]函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.()(2)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是(x2－x)dx.()(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(4)定积分f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.()(5)加速度对时间的积分是路程.()解析(2)y＝x2与y＝x所围成的面积是(x－x2)dx.(3)若f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在x轴上方的面积大.(4)定积分f(x)dx等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程.答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.(选修2－2P50A5改编)定积分|x|dx＝()A.1B.2C.3D.4解析|x|dx＝(－x)dx＋xdx＝2xdx＝x2＝1.答案A3.(选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A.10tB.5tC.tD.t解析S＝vdt＝＝5t.答案B4.(2018·青岛月考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积S，正确的是()A.S＝(4x－x3)dxB.S＝(x3－4x)dxC.S＝dyD.S＝dy解析两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x≥x3，故直线y＝4x与曲线y＝x3所围成的封闭图形的面积S＝(4x－x3)dx.答案A5.(2019·安阳模拟)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a，b，c的大小关系是()A.a
