专题18三角恒等变换【高考地位】三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具.但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一运用转化与化归思想使用情景：含不同角的三角函数式类型解题模板：第一步利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；第二步运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；第三步得出结论.例1已知，则的值为__________．【答案】【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．【变式演练1】（1）化简：．（2）若、为锐角，且，，求的值．【答案】（1）；（2）．考点：1诱导公式；2同角三角函数基本关系式；3两角和差公式．【变式演练2】已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）考点：1.同角三角函数基本关系；2.两角差的余弦公式方法二运用函数方程思想使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；第二步求解方程组；第三步得出结论.例2已知，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得：故选：B【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.例3若，，，且，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【变式演练3】设是方程的两根，则的值为（）A．－3B．－1C．1D．3【答案】A.【解析】试题分析：，根据．考点：1．韦达定理；2．两角和的正切公式．名师点睛：此题考查两角和的正切公式的整体思想，是方程的两个根，但不要求方程的两根分别是多少，而用韦达定理，整体求两根之和，两根之积，然后代入．【变式演练4】方程两根，且，则；【答案】考点：两角和差公式以及正切函数的性质.方法三运用换元思想使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步运用换元法将未知向已知转化；第二步利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；第三步得出结论.例5若求的取值范围.【答案】.【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练4】若是三角形的最小内角，则函数的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由,令而,得；又,得，得，则,所以函数的最小值为.故选A.考点：正弦、余弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换.【高考再现】1.【2017全国III文，4】已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2.【2016高考新课标2理数】若，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D3.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是.【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识4．【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主...
