专题18三角恒等变换【高考地位】三角函数学习中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换,是常用的解题工具.但由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.【方法点评】方法一运用转化与化归思想使用情景:含不同角的三角函数式类型解题模板:第一步利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式;第二步运用有关公式进行变形,主要是角的拆变;第三步得出结论.例1已知,则的值为__________.【答案】【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换,属于基础试题,本题的解答中注意角的整体性和配凑.【变式演练1】(1)化简:.(2)若、为锐角,且,,求的值.【答案】(1);(2).考点:1诱导公式;2同角三角函数基本关系式;3两角和差公式.【变式演练2】已知均为锐角,且,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)考点:1.同角三角函数基本关系;2.两角差的余弦公式方法二运用函数方程思想使用情景:一般三角函数类型解题模板:第一步将把某个三角函数式看作未知数,利用已知条件或公式列出关于未知数的方程;第二步求解方程组;第三步得出结论.例2已知,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得:故选:B【点评】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换.因此,有时在三角恒等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.例3若,,,且,,则的值为()A.B.C.D.【答案】C【变式演练3】设是方程的两根,则的值为()A.-3B.-1C.1D.3【答案】A.【解析】试题分析:,根据.考点:1.韦达定理;2.两角和的正切公式.名师点睛:此题考查两角和的正切公式的整体思想,是方程的两个根,但不要求方程的两根分别是多少,而用韦达定理,整体求两根之和,两根之积,然后代入.【变式演练4】方程两根,且,则;【答案】考点:两角和差公式以及正切函数的性质.方法三运用换元思想使用情景:一般三角函数类型解题模板:第一步运用换元法将未知向已知转化;第二步利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换;第三步得出结论.例5若求的取值范围.【答案】.【点评】本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子看作一个整体,通过代数、三角变换等手段求出取值范围.【变式演练4】若是三角形的最小内角,则函数的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析:由,令而,得;又,得,得,则,所以函数的最小值为.故选A.考点:正弦、余弦函数的图象与性质,两角和与差的三角函数及三角恒等变换.【高考再现】1.【2017全国III文,4】已知,则=()A.B.C.D.【答案】A【解析】.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2.【2016高考新课标2理数】若,则()(A)(B)(C)(D)【答案】D3.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是.【答案】8.考点:三角恒等变换,切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形中恒有,这类同于正余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识4.【2015高考重庆,理9】若,则()A、1B、2C、3D、4【答案】C【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主...