【高考新坐标】2016届高考数学总复习第十章第3节二项式定理课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2014·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10[解析]因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝C6rxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C62x3＝15x3，所以系数为15.[答案]C2．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7[解析]Tr＋1＝Cnr(3x)n－r＝Cnr3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．[答案]B3．已知(x2－x－2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a9＋a10的值为()A．－64B．－32C．0D．64[解析]在展开式中，令x＝0，则a0＝(－2)5＝－32；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－2)5＝－32.∴a1＋a2＋…＋a10＝－32－a0＝0.[答案]C4．(2015·青岛调研)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A．6B．7C．8D．5[解析]由二项式定理知an＝C10n－1(n＝1，2，3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a6＝C105，则k的最大值为6.[答案]A5．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．210[解析]因为f(m，n)＝C6mC4n，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C63C40＋C62C41＋C61C42＋C60C43＝120.[答案]C二、填空题6．(2014·课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________．(用数字填写答案)[解析]设通项为Tr＋1＝C10rx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为C103a3＝15，∴a3＝，∴a＝.[答案]7．(2015·聊城模拟)若(n∈N*)的展开式的第三项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为________．[解析]依题意，Cn2＝36，解得n＝9.∴展开式的通项Tr＋1＝C9r(9x)9－r＝(－1)r318－3rx9－r·C9r，令9－r＝0，则r＝6.故展开式中的常数项为C96＝84.[答案]848．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为________．[解析]由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C4r(5x)4－r＝(－1)r54－rC4rx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.[答案]150x三、解答题9．已知二项式的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．[解](1)由题意得Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C8r()8－r·＝C8r·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C82＝28.10．若(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为a，求(3x2－1)dx.[解]∵＝1－＋－，∴(2＋x＋x2)的展开式中的常数项为a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.故(3x2－1)dx＝(x3－x)＝6.[B级能力提升练]1．(2013·陕西高考)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15[解析]∵f(x)＝∴当x>0时，f(x)＝－<0，∴f[f(x)]＝f(－)＝＝，Tr＋1＝C6r()6－r＝(－1)rC6rx3－r，令3－r＝0，得r＝3.∴展开式中常数项为C63()3＝－C63＝－20.[答案]A2．(2015·烟台模拟)设的展开式中第m项的系数为bm，若b3＝2b4，则n＝________．[解析]∵Tr＋1＝Cnr(2x)n－r＝Cnr·2n－r·xn－2r，∴bm＝2n＋1－m·Cnm－1，由b3＝2b4，得2n－2Cn2＝2·2n－3Cn3，则n＝5.[答案]53．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数a的值．[解]展开式的通项Tr＋1＝C5r＝C5rx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C54·＝16，又(a2＋1)n展开式的各项系数之和为2n，由题意，得2n＝16，∴n＝4.∴(a2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而C42(a2)2＝54，∴a＝.
