每日一题规范练(第二周)[题目1](本小题满分12分)已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A＝acosAsinB，函数f(x)＝sinAcos2x－sin2sin2x，x∈.(1)求A；(2)求函数f(x)的值域．解：(1)在△ABC中，bsin2A＝acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAcosAsinB，所以tanA＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由A＝，得f(x)＝cos2x－sin2x＝(1＋cos2x)－sin2x＝＋＝－sin.因为x∈，所以－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，所以≤－sin＋≤，所以f(x)的值域为.[题目2](本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn，且3an＋Sn＝4(n∈N*)．(1)证明：{an}是等比数列；(2)在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列．记插入的n个数的和为Tn，求Tn的最大值．(1)证明：因为3an＋Sn＝4，所以Sn＝4－3an(n∈N*)，所以，当n≥2时，有Sn－1＝4－3an－1，上述两式相减，得an＝－3an＋3an－1，即当n≥2时，＝.又n＝1时，a1＝4－3a1，a1＝1.所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)解：由(1)得an＝a1·qn－1＝，所以Tn＝＝＝，因为Tn＋1－Tn＝－＝，所以T1＜T2＜T3，T3＝T4，T4＞T5＞T6…所以Tn的最大值为T3＝T4＝.[题目3](本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD′E的位置，使得平面AD′E⊥平面ABCE.(1)求证：AE⊥BD′；(2)求三棱锥ABCD′的体积．(1)证明：连接BD交AE于点O，依题意得＝＝2，所以Rt△ABD∽Rt△DAE，所以∠DAE＝∠ABD，所以∠AOD＝90°，所以AE⊥BD，则OB⊥AE，OD′⊥AE，又OB∩OD′＝O，OB，OD′在平面OBD′内．所以AE⊥平面OBD′.又BD′⊂平面OBD′，所以AE⊥BD′.(2)解：因为平面AD′E⊥平面ABCE，由(1)知，OD′⊥平面ABCE，所以OD′为三棱锥D′ABC的高，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，DE＝1，所以D′O＝.所以VABCD′＝VD′ABC＝S△ABC·D′O＝××＝.故三棱锥ABCD′的体积为.[题目4](本小题满分12分)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000名员工中随机抽取100名员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(导学号55410154)(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；不低于4500元的员工是具备营销成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分为两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元，试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)由频率分布直方图估计该公司员工的月平均工资为0．01×10×20＋0.01×10×30＋0.02×10×40＋0.03×10×50＋0.02×10×60＋0.01×10×70＝4700(元)．(2)抽取比例为＝，从工资在[1500，4500)区间内抽100×(0.1＋0.1＋0.2)×＝2人，设这两位员工分别为1，2.从工资在[4500，7500]区间内抽100×(0.3＋0.2＋0.1)×＝3人，设这3人员工分别为A，B，C.从抽出的5人中任选2人，共有10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)．两人营销都成功，公司收入6万元，有三种可能结果(A，B)，(A，C)，(B，C)．所以公司收入6万元的概率P1＝.两人中有一人营销成功，公司收入2万元，有6种结果(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)．所以公司收入2万元的概率P2＝＝.两人营销都失败，公司损失2万元，有1种结果(1，2)，其概率P3＝.因为＜＜，所以收入2万元的可能性最大．[题目5](本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为(O为坐标原点)．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值．(1)解：由题意可知：椭圆的离心率e＝＝，则a＝c.由△AOF的面积为S＝×b×c＝，则bc＝1，由a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝c＝1.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)知：F(1，0)，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，设P(c...
