每日一题规范练(第五周)[题目1]已知Sn为等比数列{an}的前n项和,公比q=2,且S2=3,等差数列{bn}满足b2=a3,b3=-b5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn是数列{bn}的前n项和,求Tn的最大值.解:(1)因为等比数列{an}满足公比q=2,前2项和S2=3,所以S2=a1+a2=a1+2a1=3,解得a1=1,所以an=a1×qn-1=2n-1.(2)由题及(1)知,b2=a3=4.因为b3+b5=0,所以b4=0,则数列{bn}的公差d==-2<0,故当n=3或4时,Tn取得最大值,此时T3=T4=b1+b2+b3=3b2=12.[题目2]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=2sinBsinC,bc=4,a=2.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的周长.解:(1)因为sinA=2sinBsinC,显然sinA≠0,所以sin2A=2sinAsinBsinC.由正弦定理,得a2=2bcsinA.又因为bc=4,a=2,所以12=8sinA,解得sinA=.又A∈,所以A=.(2)由(1)知A=,即cosA=.由余弦定理,得cosA===,所以b2+c2=16.则(b+c)2=b2+c2+2bc=16+8=24,所以b+c=2.故△ABC的周长为a+b+c=2+2.[题目3](2019·长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件;方案2的运作费用为2元/件),在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案),运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示.(1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由);(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用),为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价xi(单元:元/件,整数)和销售yi(单位:件)(i=1,2,…,8)如下表所示:售价3335373941434547销量840800740695640580525460①请根据下列数据计算相应的相关指数R2,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合;②根据所选回归模型,分析售价x定为多少时?利润z可以达到最大.项目Combin=-1200lnx+5000Combin=-27x+1700Combin=-x2+120052446.9513142122.89124650附:相关指数R2=1-.解:(1)由等高条形图可知,年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2.(2)①由已知数据可知,回归模型y=-1200lnx+5000对应的相关指数R=0.5792;回归模型y=-27x+1700对应的相关指数R=0.8946;回归模型y=-x2+1200对应的相关指数R=0.9990.因为R>R>R,所以采用回归模型y=-x2+1200进行拟合最为合适.②由(1)可知,采用方案1的运作效果比方案2好,故利润z=(x-15),z′=-(x+30)(x-40),当x∈(0,40)时,z′>0,z=(x-15)单调递增;当x∈(40,+∞)时,z′<0,z=(x-15)单调递减,故当售价x=40时,利润z达到最大.[题目4]如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,对角线AC与BD交于点F,侧面SBC是边长为2的等边三角形,E为SB的中点.(1)证明:SD∥平面AEC;(2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求点A到平面BSD的距离.(1)证明:如图,连接EF,易知EF为△BDS的中位线,所以EF∥DS.又SD⊄平面AEC,EF⊂平面AEC,所以SD∥平面AEC.(2)解:因为平面SBC⊥底面ABCD,平面SBC∩平面ABCD=BC,AB⊥BC,所以AB⊥平面BCS.在△BSD中,BD=DS=2,BS=2,所以S△BSD=.又因为VA-BSD=VD-ABS=VC-ABS=VA-BSC=S△BSC·AB=.设点A到平面BSD的距离为d,所以d==.所以点A到平面BSD的距离为.[题目5]已知函数f(x)=-kx(k∈R).(1)当k=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)<0恒成立,求实数k的取值范围.解:(1)当k=0时,f(x)=,则f′(x)=,所以f(1)=0,f′(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(2)若f(x)<0对x∈(0,+∞)恒成立,即k>对x>0恒成立.设g(x)=,可得g′(x)=,由g′(x)=0,可得x=,当0<x<时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>时,g′(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)在x=处取得极大值,且最大值是g()=.所以实数k的取值范围是.[题目6]如图,椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率e=,且椭圆的长轴与短轴的长度之和为10.(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆E上任取点P(与点A、B不重合),直线PA交y轴于点C,直线PB交...