每日一题规范练(第五周)[题目1]已知Sn为等比数列{an}的前n项和，公比q＝2，且S2＝3，等差数列{bn}满足b2＝a3，b3＝－b5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn的最大值．解：(1)因为等比数列{an}满足公比q＝2，前2项和S2＝3，所以S2＝a1＋a2＝a1＋2a1＝3，解得a1＝1，所以an＝a1×qn－1＝2n－1.(2)由题及(1)知，b2＝a3＝4.因为b3＋b5＝0，所以b4＝0，则数列{bn}的公差d＝＝－2＜0，故当n＝3或4时，Tn取得最大值，此时T3＝T4＝b1＋b2＋b3＝3b2＝12.[题目2]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝2sinBsinC，bc＝4，a＝2.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长．解：(1)因为sinA＝2sinBsinC，显然sinA≠0，所以sin2A＝2sinAsinBsinC.由正弦定理，得a2＝2bcsinA.又因为bc＝4，a＝2，所以12＝8sinA，解得sinA＝.又A∈，所以A＝.(2)由(1)知A＝，即cosA＝.由余弦定理，得cosA＝＝＝，所以b2＋c2＝16.则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝16＋8＝24，所以b＋c＝2.故△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2.[题目3](2019·长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价xi(单元：元/件，整数)和销售yi(单位：件)(i＝1，2，…，8)如下表所示：售价3335373941434547销量840800740695640580525460①请根据下列数据计算相应的相关指数R2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大．项目Combin＝－1200lnx＋5000Combin＝－27x＋1700Combin＝－x2＋120052446.9513142122.89124650附：相关指数R2＝1－.解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2.(2)①由已知数据可知，回归模型y＝－1200lnx＋5000对应的相关指数R＝0.5792；回归模型y＝－27x＋1700对应的相关指数R＝0.8946；回归模型y＝－x2＋1200对应的相关指数R＝0.9990.因为R＞R＞R，所以采用回归模型y＝－x2＋1200进行拟合最为合适．②由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好，故利润z＝(x－15)，z′＝－(x＋30)(x－40)，当x∈(0，40)时，z′＞0，z＝(x－15)单调递增；当x∈(40，＋∞)时，z′＜0，z＝(x－15)单调递减，故当售价x＝40时，利润z达到最大．[题目4]如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是边长为2的等边三角形，E为SB的中点．(1)证明：SD∥平面AEC；(2)若侧面SBC⊥底面ABCD，求点A到平面BSD的距离．(1)证明：如图，连接EF，易知EF为△BDS的中位线，所以EF∥DS.又SD⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，所以SD∥平面AEC.(2)解：因为平面SBC⊥底面ABCD，平面SBC∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，所以AB⊥平面BCS.在△BSD中，BD＝DS＝2，BS＝2，所以S△BSD＝.又因为VA-BSD＝VD-ABS＝VC-ABS＝VA-BSC＝S△BSC·AB＝.设点A到平面BSD的距离为d，所以d＝＝.所以点A到平面BSD的距离为.[题目5]已知函数f(x)＝－kx(k∈R)．(1)当k＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)＜0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)当k＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，所以f(1)＝0，f′(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.(2)若f(x)＜0对x∈(0，＋∞)恒成立，即k＞对x＞0恒成立．设g(x)＝，可得g′(x)＝，由g′(x)＝0，可得x＝，当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此g(x)在x＝处取得极大值，且最大值是g()＝.所以实数k的取值范围是.[题目6]如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率e＝，且椭圆的长轴与短轴的长度之和为10.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上任取点P(与点A、B不重合)，直线PA交y轴于点C，直线PB交...
