二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合方法一函数图象数形沟通法模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象．③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化．④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．8解析 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期为2π的偶函数，∴当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1. 当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，∴当x∈时，f(x)为单调减函数；当x∈时，f(x)为单调增函数， 当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sinx和y＝f(x)的草图如图，由图知y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.答案C思维升华由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的所有实数解之和为()A．－7B．－6C．－3D．－1答案A解析因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象，由图知关于x的方程f(x)＝|cosπx|在上的实数解有7个．不妨设7个解中x1
