专题03立体几何中的数学文化一.专题综述以选择题或者填空题的形式，以垂直关系或者平行关系以及三视图中的表面积、体积问题为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.预测：以平行关系、垂直关系、三视图为题材考查空间中的文化二．回顾高考1.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．【解析】（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以.而，所以.又因为，点是的中点，所以.而，所以平面.而，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.设，，有，在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因,,则,所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.三．典例分析例1.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A.4－B.8－C.8－πD.8－2π【答案】C例2．(2017·新乡三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()A.5000立方尺B.5500立方尺C.6000立方尺D.6500立方尺【答案】A【解析】该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF，取AB的中点G，CD的中点H，连FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和，而三棱柱ADE－GHF可通过割补法得到一个高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔形的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺.【规律总结】1.本例以《九章算术》，祖暅原理为背景，相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.2.两题很好地诠释了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中对数学文化内容的要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试题本身.四．强化训练1.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是()【答案】D【解析】因为且3.142857-3.14159=0.001267.综上可知，选项D最精确.2.《九章算术...
