第7课时直线与平面、平面与平面垂直的性质基础达标(水平一)1.若△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则不重合的直线l,m的位置关系是().A.相交B.异面C.平行D.不确定【解析】∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥α.同理,m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.【答案】C2.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是().A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βB.若α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥βC.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βD.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.故选D.【答案】D3.如图,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是().A.PD⊥BDB.PD⊥CDC.PB⊥BCD.PA⊥BD【解析】假设PD⊥BD,则BD⊥平面PAD.因为BA⊥平面PAD,所以过平面外一点有两条直线与平面垂直,假设不成立,故A不正确.因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD.同理可证PB⊥BC.因为PA⊥矩形ABCD,所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.【答案】A4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法正确的是().A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理得DE⊥AC,又BE∩DE=E,故AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.【答案】C5.已知平面α,β和直线m,若α∥β,则满足下列条件中的(填序号)能使m⊥β成立.①m∥α;②m⊥α;③m⊂α.【解析】在上述条件中,仅由m⊥α,α∥β可得m⊥β.故选②.【答案】②6.若a,b表示两条不同的直线,α表示一个平面,则下列命题中正确的有.(填序号)①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.【解析】由线面垂直的性质定理知①④正确.【答案】①④7.如图所示,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC边的中点.(1)求证:EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.【解析】(1)∵E,F分别为AC,BC边的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.(2)∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,PE⊂平面PAC,∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.又F为BC的中点,∴EF∥AB.∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∴BC⊥EF.∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PEF.拓展提升(水平二)8.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小().A.变大B.变小C.不变D.有时变大有时变小【解析】∵BC⊥CA,l⊥平面ABC,∴BC⊥l,BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,∴∠PCB=90°,故选C.【答案】C9.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是().A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】∵PA⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB,即tan∠ADP===1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°,选D.【答案】D10.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形一定是.【解析】如图,连接AC,BD,设AC与BD交于点O.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PC⊥BD,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC.又四边形ABCD为平行四边形,∴四边形ABCD为菱形.【答案】菱形11.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(1)证明:C1C⊥BD.(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?证明这个结论.【解析】(1)如图,连接A1C1,AC,AC与BD交于点O,连接C1O.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,BC=CD.又因为∠C1CB=∠C1CD,C1C为公共边,所以△C1BC≌△C1DC,所以C1B=C1D.因为DO=OB,所以C1O⊥BD.又AC⊥BD,AC∩C1O=O,所以BD⊥平面AA1C1C,又C1C⊂平面AA1C1C,所以C1C⊥BD.(2)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.证明如下:由(1)可知BD⊥A1C.当=1时,四棱柱的六个面全都是菱形,同BD⊥A1C的证法类似可以证得BC1⊥A1C.又因为BD∩BC1=B,所以A1C⊥平面C1BD.
