【大高考】2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第3节椭圆及其性质模拟创新题理一、选择题1.(2016·安徽安庆模拟)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于()A.2B.2或C.2或6D.2或8解析显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则＝，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8.答案D2.(2015·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析 a＝4，e＝，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案B3.(2016·青岛模拟)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.解析根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0， 椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3.长轴长为2＝2.答案C4.(2014·临沂一模)设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A.3B.2C.3D.2解析由题意椭圆焦点在y轴上，可得m＝6，由圆锥曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2＝2，||PF1|－|PF2||＝2，两式平方作差得|PF1|·|PF2|＝3.答案A二、填空题5.(2014·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________________.解析抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.答案＋＝1三、解答题6.(2016·福建四地六校第三次联考)已知椭圆的中心在原点，，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4，1)，直线l：y＝x＋m交椭圆于不同的两点A、B.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数.(1)解设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为e＝，所以a2＝4b2，又因为M(4，1)在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝5，a2＝20，故椭圆方程为＋＝1.(2)解将y＝x＋m代入＋＝1并整理得5x2＋8mx＋4m2－20＝0，Δ＝(8m)2－20(4m2－20)＞0，解得－5＜m＜5.(3)证明设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.k1＋k2＝＋＝分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)(x1－4)＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝－－8(m－1)＝0，所以直线MA、MB的斜率互为相反数.创新导向题求椭圆方程及最值问题7.已知椭圆M：＋＝1(a＞0)的一个焦点为F(－1，0)，左右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点.(1)求椭圆方程；(2)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值.解(1)因为F(－1，0)为椭圆的焦点，所以c＝1，又b2＝3，所以a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.(2)因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y＝x＋1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2＋8x－8＝0.所以Δ＝288，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|CD|＝|x1－x2|＝.(3)当直线l无斜率时，直线方程为x＝－1，此时D，C，△ABD，△ABC面积相等，|S1－S2|＝0，当直线l斜率存在(显然k≠0)时，设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，和椭圆方程联立得到，消掉y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ＞0，方程有根，且x1＋x2＝－，x1x2＝，此时|S1－S2|＝|2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝因为k≠0，上式＝≤＝＝，(k≠±时等号成立)所以|S1－S2|的最大值为.专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2015·黄冈质检)F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝，由椭圆的定义得2a＝3，因此e＝＝＝.答案A二、填空题9.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1，若定点A(5，0)，动点M满足|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是_____...
