考点集训(六)第6讲函数的单调性1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|2．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是A．y＝logxB．y＝2x－1C．y＝x2－D．y＝－x33．函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是A.B．(－∞，0)∪C．[，1]D．[，]4．已知f(x)＝(a≠1)在区间(0，4]上是增函数，则实数a的取值范围是A.B．(0，1)C.D．(－∞，0)∪5．已知y＝f(x)是定义在(－2，2)上的增函数，若f(m－1)＜f(1－2m)，则m的取值范围是______________．6．已知下列四个命题：①若f(x)为减函数，则－f(x)为增函数；②若f(x)为增函数，则函数g(x)＝在其定义域内为减函数；③若f(x)与g(x)均为(a，b)上的增函数，则f(x)·g(x)也是区间(a，b)上的增函数；④若f(x)与g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函数，且g(x)≠0，则在(a，b)上是递增函数．其中正确命题的序号是________．7．已知函数f(x)＝若f(6－a2)＞f(5a)，则实数a的取值范围是____________．8．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．9．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．12答案题号12345第6讲函数的单调性【考点集训】1．B2.B3.C4.A5.6.①7.－6＜a＜18．【解析】(1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，令x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，∵2x1＜2x2，a＞0⇒a(2x1－2x2)＜0，3x1＜3x2，b＞0⇒b(3x1－3x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，＞－，则x＞log1.5；当a＞0，b＜0时，＜－，则x＜log1.5.9．【解析】(1)法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二：设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)由(1)得f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3，3]上也是减函数，∴f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.3
