限时规范训练圆锥曲线的综合问题\a\al(限时45分钟，实际用时解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分)1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1,0)．设Q＝(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点P在椭圆C上，满足|PF1|＝7|PF2|，tan∠F1PF2＝4.(1)求椭圆C的方程．(2)已知点A(1,0)，试探究是否存在直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于D，E两点，且使得|AD|＝|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由|PF1|＝7|PF2|，PF1＋PF2＝2a得PF1＝，PF2＝，由cos2∠F1PF2＝＝＝，又由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝，所以a＝2，故所求C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线l满足题设，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，将y＝kx＋m代入＋y2＝1并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝－16(m2－4k2－1)＞0，得4k2＋1＞m2①，又x1＋x2＝－设D，E中点为M(x0，y0)，M，kAM·k＝－1，得m＝－②，将②代入①得4k2＋1＞，化简得20k4＋k2－1＞0⇒(4k2＋1)(5k2－1)＞0，解得k＞或k＜－，所以存在直线l，使得|AD|＝|AE|，此时k的取值范围为∪.3．(2017·广州五校联考)已知双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝，且S△ABF＝1－.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程．(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如要不经过，试说明理由．解：(1)在双曲线M中，c＝，由e＝，得＝，解得a＝b，故c＝2b.所以S△ABF＝(c－a)×b＝(2b－b)×b＝1－，解得b＝1.所以a＝，c＝2.所以双曲线M的方程为－x2＝1，其上焦点为F(0,2)，所以抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知y＝x2，故y′＝x，抛物线的准线方程为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，且直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q.假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是RP·RQ＝0对任意的x0，y0恒成立．又RP＝(x0，y0－y1)，RQ＝，由RP·RQ＝0，得x0×＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理得－2y0－y0y1＋2y1＋y＝0，即(y＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0.(☆)由于(☆)式对满足y0＝x(x0≠0)的任意x0，y0恒成立，所以解得y1＝2.故存在y轴上的定点R(0,2)，使得以PQ为直径的圆恒过该点．4．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，F2的坐标满足圆Q方程(x－)2＋(y－1)2＝1，且圆心Q满足|QF1|＋|QF2|＝2a.(1)求椭圆C1的方程．(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围．解：(1)方程(x－)2＋(y－1)2＝1为圆，此圆与x轴相切，切点为F2(，0)，所以c＝，即a2－b2＝2，且F2(，0)，F1(－，0)，|QF1|＝＝＝3，又|QF1|＋|QF2|＝3＋1＝2a.所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋＝1.(2)当l1平行x轴时，l2与圆Q无公共点，从而△MAB不存在；所以设l1：x＝t(y－1)，则l2：tx＋y－1＝0.由消去x得(t2＋2)y2－2t2y＋t2－4＝0，则|AB|＝|y1－y2|＝.又圆心Q(，1)到l2的距离d1＝＜1得t2＜1.又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，即d2＝＝.所以△MAB面积S＝|AB|·d2＝，令u＝∈[2，)，则S＝f(u)＝＝∈.所以△MAB面积的取值范围为.5．(2017·山东潍坊模拟)如图，点O为坐标原...
